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mathewettbewerb - eine aufgabe
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toffa
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Anmeldungsdatum: 06.09.2004
Beiträge: 189

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 16:35:28    Titel: mathewettbewerb - eine aufgabe

hi.
wir hatten heute son mathewettbewerd und auch alles hingekriegt nur eine aufgabe nicht...
also wir hatten das ergebnis 119, was auch stimmt, aber wir konnten es algebraisch nicht beweisen...

ein korb voll eier.

nimmt man 2 stück raus, bleibt eins übrig
nimmt man 3 stück raus, bleibt 2 übrig
nimmt man 4 stück raus, bleibt 3 übrig
nimmt man 5 stück raus, bleibt 4 übrig
nimmt man 6 stück raus, bleibt 5 übrig
nimmt man 7 stück raus, bleibt keins übrig

kann das jemand mal erklären wie man das macht? würde mich mal interessieren. danke Smile
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 18:12:03    Titel:

Ist das so gemeint, dass man immer wieder 2, 3,... Stück rausnimmt bis eine Anzahl verbleibt, die kleiner oder gleich 2,3,... ist? Dann wären die Bedingungen also

x mod 2 = 1
x mod 3 = 2 usw. bis
x mod 7 = 0

Stimmt, bei 119 kommt das hin. Aber wie man das rechnerisch zeigt, hmm... Vielleicht irgendwie schrittweise-die erste Bedingung sagt uns, dass die Zahl ungerade sein muss. Die nächste, dass sie sich darstellen lässt als x = 3a + 2 mit einer natürlichen Zahl a. Außerdem muss aber x = 7f mit einer natürlichen Zahl f sein, d.h. 3a + 2 muss auch durch 7 teilbar sein. Ferner ist x = 4b +3, was auch durch 7 teilbar sein muss. Obwohl, das läuft auch alles nur auf systematisches Probieren hinaus, wenn man das fortsetzt. Sad
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 18:57:23    Titel:

Ich mach das hier mal Anhand eines kleineren Beispiels (mit 7 Kongruenzen, wirds nen Rechenakt :D )

x = 4 (mod 5)
x = 8 (mod 11)
x = 1 mod 13)

Es handelt sich hierbei um simultane Kongruenzen... (5 Schritte)

Schritt1:
Errechne y := 5*11*13 = 715
Errechne alle M_{i} = y/m_{i}

M_{1} = 715/5 = 11*13 = 143
M_{2} = 715/11 = 55*13 = 65
M_{3} = 715/13 = 5*11 = 55

Schritt 2:
Bestimme M'_{i} = M_{i} (mod m_{i})
Hier:
M'_{1} = 143 = 3 (mod 5)
M'_{2} = 65 = 10 (mod11)
M'_{3} = 55 = 3 (mod 13)

Schritt 3:
multiplikative Inverse x_{i} := x_{i} * M'_{i} (mod m_{i})
Am besten mit dem erweiterten Euklidschen Algorithmus (DERIVE langt auch .p)
Hier:

x_{1} = 1 (mod 5) [ 7*3 = 1 (mod 5) ]
x_{2} = 10 (mod 11) [ 10*10 = 1 (mod 11) ]
x_{3} = 9 (mod 13) [ 9*3 = 1 (mod 11) ]

Schritt4:
Errechne u_{i} = x_{i} * M_{i} (mod y)
Hier:
u_{1} = 7 * 143 = 1001 = 286 (mod 715)
u_{2} = 10 * 65 = 650 = 650 (mod 715)
u_{3} = 9 * 55 = 495 = 495 (mod 715)

Schritt 5:
Errechne z = Summe[(u_{i}*b_{i}) (mod y) , von i = 1 bis 3]

Hier:
z = 4 * 286 + 8 * 650 + 1 * 495
= 1144 + 5200 + 495
= 429 + 195 + 495 (mod 715)
= 1119 = 404 (mod 715)


Ergebnis: Die erste Natürliche Zahl, die die obige Kongruenz löst ist 404
ist nen bissl Rechenlastig das ganze...Oo

cu...
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 19:01:56    Titel:

ups, 2 kleine Fehler:

x_{3} = 9 (mod 13) [ 9*3 = 1 (mod 11) ]

Die Zeile muss lauten:
x_{3} = 9 (mod 13) [ 9*3 = 1 (mod 13) ]


Und unten habe ich gesagt: Errechne Ergebnis z, nur oben ist nach x gefragt :D
=> z = x

cu..
toffa
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Anmeldungsdatum: 06.09.2004
Beiträge: 189

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 22:03:03    Titel:

boah scheiße^^
also einer hat schon so eine vermutung geäußert mit modus... aber ich hab das noch nie gehört. wir sind aber in der 11. klasse also ist es wohl nicht vorgeschrieben gewesen das rechnerisch zu beweisen Very Happy
dankeschön Smile
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