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Taylorreihe Problem: Entwicklungsstelle
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fabi85w
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Anmeldungsdatum: 29.11.2007
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2007 - 20:44:16    Titel: Taylorreihe Problem: Entwicklungsstelle

hallo,
kann mir vielleicht jemanden helfen. ich habe folgende situation, die ich nicht gelöst bekomme:

meine Funktion ist f=(cosx-1)/x
ich soll diese Funktion nach Taylor entwickeln
mein Problem liegt darin, dass meine Entwicklungsstelle bei Null (ist vorgegeben) anfängt und daher die Funktion nicht teilbar ist. Sad

Danke schon im Voraus für eure Antworten! Smile
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2007 - 21:16:05    Titel:

Hallo!

Die Funktion ist zwar an der Stelle 0 nicht definiert, besitzt aber einen eindeutigen Grenzwert für lim (x->0). Smile Denk mal an die Regel von l´Hospital. Smile


Viele Grüße, Cyrix
fabi85w
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Anmeldungsdatum: 29.11.2007
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2007 - 21:49:25    Titel:

ja aber ich muss doch 0 in die reihe irgendwie einsetzen könne Question
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2007 - 12:21:58    Titel:

Vielleicht mal so:

cos(x) = SUMME(n = 0 bis unendlich) (-1)^n*x^(2*n)/(2*n)!

(das dürfte als bekannt vorausgesetzt werden, ist aber auch nicht schwer...)

Der Summand für n = 0 ist genau 1, also ist

cos(x) - 1 = SUMME(n = 1 bis unendlich) (-1)^n*x^(2*n)/(2*n)!

Jetzt mußt Du Dir nur noch Gedanken machen, ob und warum man die Division durch x gliedweise vornehmen darf...
fabi85w
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Anmeldungsdatum: 29.11.2007
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2007 - 11:30:16    Titel:

das ist doch die potenzreieh f(x)=-1/2*x^2+1/24*x^4 für cos(x)-1 das war mir auch die ganze zeit klar.
f(x)=x^(-1)
f´(x)=-x^(-2)
f´´(x)=2x^(-3)
f```(x)=-6x^(-4)
f´´´´(x)=24x^(-5)

f(x)=x^(-1)-(xo^(-2)/1!)*x+(2x0^(-3)/2!)x^2-(6xo^(-4)/3!)x^3+(24xo^(-5)/4!)x^4
=xo^(-1)-(xo^(-2)/1)*x+(2x0^(-3)/2)x^2-(6xo^(-4)/6)x^3+(24xo^(-5)/24)x^4
=xo^(-1)-xo^(-2)*x+x0^(-3)*x^2-xo^(-4)*x^3+xo^(-5)*x^4
das sollte die potenzreihe für 1/x werden
da ich aber xo=0 einsetzen soll, kommt dann null raus
und genau da liegt mein problem.
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2007 - 13:42:55    Titel:

Nein, nicht die beiden Potenzreihen dividieren, sondern die Potenzreihenentwicklung von cos(x) - 1 gliedweise durch x dividieren:

cos(x) - 1 = SUMME(n = 1 bis unendlich) (-1)^n*x^(2*n)/(2*n)!

Dann ist

(cos(x) - 1)/x = SUMME(n = 1 bis unendlich) (-1)^n*x^(2*n - 1)/(2*n)!

= -x/2 + (x^3)/24 - (x^5)/720 +- ....

Der Witz ist der:
Warum darf man die Potenzreihe durch x dividieren, indem man einfach die einzelnen Summanden durch x dividiert?
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