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ruule
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Anmeldungsdatum: 12.10.2007
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2007 - 17:57:22    Titel: hdp-struktur

hallo,
ich suche eine nachvollziehbare herleitung und berechnung von der hdp-struktur. die packungsdichte liegt ja bei 0,74 bzw 74%.

wäre toll, wenn mir da jmd. weiterhelfen könnte in form von einer berechnung oder einem link, wo dies evtl. beschrieben wird.

vielen dank,

gruß
as_string
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
Beiträge: 2787
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2007 - 16:58:22    Titel:

Hallo!

Das ist ziemlich schwer, das hier zu zeigen. Eigentlich bräuchte man ein paar Zeichnungen, weil es ja ein geometrisches Problem ist, die müssten aber zumindest teilweise in 3D sein, was meine Möglichkeiten hier etwas übersteigt (zumindest das in akzeptabler Zeit zu machen). Ich probiers trotzdem mal:

Zuerst müssen wir bestimmen, wieviele Kugeln eigentlich in so einem Hexagon-Prisma drin sind. Da sind zuerst mal die zweimal 6 Kugeln an den Ecken. Die sind aber jeweils nur zu einem Sechstel innerhalb des Volumens, der Rest liegt in benachbarten Prismen. Wir haben also letztendlich nur das Volumen von zwei ganzen Kugeln für alle Eck-Kugeln zusammen.
Dann haben wir noch zwei halbe Kugeln in der Hexagon Mitte oben und unten, macht nochmal eine ganze Kugel.
Dann gibt es noch die drei Kugeln, die in der Mittelebene liegen. Die sind komplett drin, so dass sich insgesamt das Volumen von 2+1+3=6 Kugeln ergibt. Alle haben einen Radius von a/2, also insgesamt ein Volumen von
V(Kugeln) = 6·4/3·pi·(1/2)³·a³ = pi·a³

Jetzt brauchen wir noch das Volumen des Prisma. Wir müssen ja das Kugelvolumen durch das des Prisma teilen. Das ist Grundfläche mal Höhe, wobei ich die Höhe mal c nenne und die Kantenlänge der Hexagon-Fläche wieder a (wie oben). Dann ergibt sich (entweder Formelsammlung, oder 6 mal Dreicksfläche mal Höhe):
V(Prisma) = c·6·½·sqrt(3)/2·a² = 3/2·sqrt(3)·a²·c

Jetzt müssen wir noch c bestimmen, das ist der schwierigste Teil. Dazu betrachten wir eines der gleichseitigen Dreiecke in der unteren Ebene:



Dabei müssen wir erstmal den Umkreismittelpunkt bestimmen, weil das Atom in der Mittelebene genau über diesem Punkt liegen muss. Die Höhe im gleichseitigen Dreieck ist h. Diese wird im Verhältnis 2/3 zu 1/3 geteilt. Der Abstand des Umkreismittelpunkts von der Mitte des Hexagon ist dann also 2/3·sqrt(3)/2·a = 1/sqrt(3) ·a
Der räumliche Abstand zwischen dem mittleren Atom in der unteren Ebene und einem Atom in der Zwischenebene ist aber auch wieder a, weil die sich ja berühren müssen. Der Abstand ist aber auch nach Pythagoras:
sqrt(1/3 a² + ¼c²) = a
Weil wir ja in der Ebene unsere 1/sqrt(3)·a hatten und in der Höhe ist es ja gerade die Hälfte der Gesamthöhe, also ½c. Das in den Pythagoras eingesetzt ergibt das. Dieser Abstand muss aber auch gleich a sein. Das kann man nach c auflösen:
¼c² = a²-1/3 ·a² = 2/3 ·a²
c² = 8/3 a²
c = sqrt(8/3) ·a = 2·sqrt(2/3)·a

Jetzt haben wir alles zusammen - nur noch alles zusammen setzen:

V(Kugeln)/V(Prisma) = (pi·a³) / (3/2·sqrt(3)·a²·c) = pi / (3·sqrt(2)) = sqrt(2)·pi / 6 ~ 0,74

Gruß
Marco
ruule
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Anmeldungsdatum: 12.10.2007
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2007 - 14:33:20    Titel:

cool danke, jetzt hab ich es auch hinbekommen Smile

vielen dank und schönen gruß!!
alex12345678910
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Anmeldungsdatum: 23.09.2008
Beiträge: 48

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2009 - 17:36:48    Titel:

ich kann das niht ganz nachvollziehen:
sqrt(1/3 a² + ¼c²) = a

warum setzt du es a? Klar die müssen sich berühren aber ist nicht der Abstand von der unteren Ebene zur oberen Ebene =a? Du setzt ja untere Ebene zur Zwischenebene =a????
as_string
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
Beiträge: 2787
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2009 - 18:39:27    Titel:

alex12345678910 hat folgendes geschrieben:
ich kann das niht ganz nachvollziehen:
sqrt(1/3 a² + ¼c²) = a

warum setzt du es a?Klar die müssen sich berühren

Das ist der Grund für die rechte Seite.
alex12345678910 hat folgendes geschrieben:
aber ist nicht der Abstand von der unteren Ebene zur oberen Ebene =a?

Nein, der ist c.
alex12345678910 hat folgendes geschrieben:
Du setzt ja untere Ebene zur Zwischenebene =a????

Nein. Die ist c/2. Aber die beiden Seiten der Gleichung sind auch nicht gleich dem Abstand der Ebenen. Deshalb ja auch der Pythagoras: noch oben gehe ich eine Strecke von c/2 und parallel zur Grundebene gehe ich a/sqrt(3). Die Kugeln sind ja nicht direkt übereinander, deshalb ist der Abstand der Kugelmittelpunkte nicht einfach nur c/2, also gleich dem Halbebenenabstand, sondern sqrt(a²/3 + ¼c²).

Gruß
Marco
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