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Bestimmen ganzrationaler Funktionen
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Norah
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Anmeldungsdatum: 30.08.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 19:38:38    Titel: Bestimmen ganzrationaler Funktionen

hy, ich hab ein großes problem mit dieser aufgabe ... hab schon alles versucht komme aber nicht auf das ergebnis.

Eine parabel 3. ordnung durch A(0l-2), die einen w (2l0) einen wendepunkt und für x1= 3 eine maximumstelle ist gegeben.

die gleichung die rauskommen muss ist f(x)= x hoch drei -6x²+9x-2

kann mir bitte jem. bei der lösung der aufgaben helfen. ich komme damit einfach nicht klar.

Norah
Ingobar
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Anmeldungsdatum: 25.02.2005
Beiträge: 384

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 19:56:38    Titel: Re: Bestimmen ganzrationaler Funktionen

[quote="Norah"]Eine parabel 3. ordnung durch A(0l-2), die einen w (2l0) einen wendepunkt und für x1= 3 eine maximumstelle ist gegeben.

die gleichung die rauskommen muss ist f(x)= x^3-6x²+9x-2
[/quote]

Allgemeine Form: ax^3+bx^2+cx+d
Dh du brauchst 4 Gleichungen für ein Gleichungssystem:

(1) f(0) = -2 -> d=-2
(2) f(2) = 0 (nullstelle)
(3) f'(3) = 0 (Bed für Extremwert)
(4) f''(3) < 0 (Bed für Maximum)

Das würde schon reichen. Du kannst aber auch

(5) f''(2) = 0 (Bed für WP)

auch noch benutzen.

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen.

Ingobar
Norah
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Anmeldungsdatum: 30.08.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 20:02:13    Titel:

also:

A: 1. -2 = d
W: 2. 0 = 8a+4b+2c
f'(3)=0 : 3. 0 = 27a+6b+c
f''(3)=0 : 4. 0= 18a+ 2b

- ich hatte das ja schon... (hoffe das ist richtig) aber ich weiß ja nicht wie ich weiter rechnen soll =(
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 20:08:51    Titel:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

A(0l-2) => f(0) = -2 => d = -2

w (2l0) => f(2) = 0 => 8a + 4b +2c - 2 = 0 => 4a + 2b + c - 1 = 0 (*)
w (2l0) => f''(2) = 0 => 12a + 2b = 0 => b = -6a

Maximum für x1 = 3 => f'(3) = 0 => 27a - 36a + c = 0 => -9a + c = 0 => c = 9a

aus (*) :4a + 2b +c - 1 = 0 => 4a -12a + 9a - 1 = 0 => a = 1 => b = -6 => c = 9

Also sind die Paramter

a = 1, b = -6, c = 9, d = -2

f(x) = x³ - 6x² + 9x - 2

Gruß
Andromeda
Norah
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Anmeldungsdatum: 30.08.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 20:26:59    Titel:

so kann ich doch die rechenschritte gar nicht nachvollziehen...

z.b. Maximum für x1 = 3 => f'(3) = 0 => 27a - 36a + c = 0 => -9a + c = 0 => c = 9a <--------- wieso 39 a?
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 20:32:11    Titel:

Norah hat folgendes geschrieben:
so kann ich doch die rechenschritte gar nicht nachvollziehen...

z.b. Maximum für x1 = 3 => f'(3) = 0 => 27a - 36a + c = 0 => -9a + c = 0 => c = 9a <--------- wieso 39 a?


Wo steht in der Gleichung 39 a ???

Bei mir stehen - 36 a und das kommt, weil weiter oben b = -6a berechnet wurde.

Maximum bei x1 = 3 heißt, dass die 1. Ableitung f' an der Stelle 3 gleich 0 ist. Daher kommt die Gleichung.

Gruß
Andromeda
Norah
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Anmeldungsdatum: 30.08.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 20:48:20    Titel:

ich hab das ganz anders in der schule gerechnet...

also:

A: l: d = -2
W: ll: 0=8a+4b+2c
f''(2)=0 lll: 0=12a+2b
f'(3)=0 V: 0=27a+6x+c
--------------------------------------------------------

warum von 0=8a+4b+2c dann 0= 4a+2b+c-1 rauskommt ist mir klar -> durch 2 geteilt.

warum aus 0=12a+2b dann b= -6 raus kommt wäre mir auch klar. aber wo ist das a hin?! ich hab ds so vermittelt bekommen, dass man eine variable zum schluss zustehen haben muss und dann erst auf das ergebnis kommt.

das mit der maximumstelle und 36a ist mir immernoch unklar. weil ich nicht verstehe warum man plötzlich -6a da einsetzt.

ja.. meine punkte...
wenn du noch lust hast mir das zu erklären wäre ich dir dankbar.. wenn nicht ist auch nicht so wild =/

lg
Norah
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
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BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 20:50:47    Titel:

Bin gerade dabei, es ausführlich hinzuschreiben. Dauart ein paar Minuten, aber dann poste ich die Antwort.

Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 21:10:16    Titel:

a) Kurve geht durch A(0l-2), dann muss f(0) = -2 sein

f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 - d = d = -2 => d = -2

1) d = -2

b) Wendepunkt an der Stelle (2 l 0), dann muss an dieser Stelle der
Funktionswert f(2) = 0 sein und die 2. Ableitung f''(0) = 0 sein

Funktion f(x)

f(2) = a*2³ + b*2² + c*2 - 2 = 8a + 4b + 2c -2 = 0 =>

2) 4a + 2b + c - 1 = 0

Zweite Ableitung f''(x) = 6ax +2b = 0 => (für x wird 2 eingesetzt)

12a + 6b = 0 =>

3) b = -6a

Somit kann ich später an allen Stellen, wo b auftaucht, b durch -6a ersetzen.
Jetzt kommt Maximum an der Stelle x1 = 3. An dieser Stelle muss die 1. Ableitung f'(x1) = 0 sein.

f'(x) = 3ax² + 2bx + c = 0

Jetzt wird für x der Wert 3 eingesetzt

4) 3a*3² + 2b*3 + c = 0

Nun kann ich b durch -6a einsetzen (wurde ja oben bereits berechnet)

27a + 2 *(-6a)*3 + c = 27a - 36 a + c = -9a + c = 0 =>

5) c = 9a

b und c kann ich jetzt also durch a ausdrücken

Dies setze ich jetzt in Gleichung 2) ein (paar Zeilen weiter oben)

6) 4a + 2b + c - 1 = 0 => 4a +2*(-6a) + 9*a - 1 = 0 =>

4a -12a + 9a - 1 = 0 =>

7) a = 1

Wenn a = 1 ist, dann ist b = -6a = -6 und c = 9a = 9.

d wurde ja bereits ganz oben bestimmt mit d = -2.

Somit habe ich jetzt alle Parameter bestimmt.

Kommst du damit zurecht?

Gruß
Andromeda
Norah
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Anmeldungsdatum: 30.08.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 21:23:43    Titel:

okay danke =)

jetzt hab ich es !!!

vielen vielen dank.

lg Norah
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