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Varianz und Eigenwert
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Hiltrud
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Anmeldungsdatum: 23.05.2006
Beiträge: 73

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2007 - 13:37:29    Titel: Varianz und Eigenwert

Hallo,ich habe hier wieder eine Aufgabe bei der ich absolut gar nicht klarkomme. Kann mir bei der Aufgabe jemand helfen? Ich versteh das mit dem Intervall nicht wirklich.
Die Aufgabe lautet:
Die Zufallsvariable X sei gleichverteilt auf dem Intervall [2, 6].Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

Ich bedanke mich schon mal für jede Hilfe. Smile
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2007 - 13:58:54    Titel:

Wenn sich X nur zwischen 2 und 6 bewegt und gleichverteilt ist, ergibt sich doch daraus die Wahrscheinlichkeitsdichte phi ganz einfach:
Bei Gleichverteilung muß phi konstant sein und das Integral von 2 bis 6 über die Funktion phi muß den Wert 1 ergeben.

Allgemein: P(X ≤ k) = INTEGRAL(von 2 bis k) phi(t) dt

und da P(X ≤ 6) = 1 sein muß (Normierung), folgt

INTEGRAL(von 2 bis 6) phi(t) dt = 1.

Da phi(t) = c (Konstante) wegen Gleichverteilung, folgt:

1 = INTEGRAL(von 2 bis 6) c dt = 4*c

und damit c = 1/4.

Jetzt ergibt sich der Erwartungswert zu

my = INTEGRAL(von 2 bis 6) phi(t)*t dt

= INTEGRAL(von 2 bis 6) 1/4*t dt

= 1/8 * (36 - 4) = 1/8 * 32 = 4.

Die Varianz ist nun

INTEGRAL(von 2 bis 6) phi(t)*(my - t)^2 dt

= INTEGRAL(von 2 bis 6) 1/4*(4 - t)^2 dt

= INTEGRAL(von -2 bis 2) 1/4*s^2 dt

= 1/12*[8 + 8] = 16/12 = 4/3.
Hiltrud
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Anmeldungsdatum: 23.05.2006
Beiträge: 73

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2007 - 14:14:48    Titel:

Danke schön.
Die 4 hatte ich bei den Erwartunmgswert auch gerade raus.
Ich habe aber mal eine Frage:
"Da phi(t) = c (Konstante) wegen Gleichverteilung, folgt:

1 = INTEGRAL(von 2 bis 6) c dt = 4*c

und damit c = 1/4. "

Wie kommst du denn da auf die 4?
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2007 - 15:03:38    Titel:

1 = INTEGRAL(von 2 bis 6) c dt = 4*c

d.h. 1 = 4*c ... und jetzt durch vier teilen!
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