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Teilfolgen und Konvergenz
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Bessi
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Anmeldungsdatum: 25.11.2007
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2007 - 11:18:09    Titel: Teilfolgen und Konvergenz

hy ich komme mit einer aufgabe garnicht klar ,kann mir jemand irgendwie ansätze oder ein beispiel für teilfolgen und konvrgenz geben ?
meine aufgabe:

sei (an) eine beschränkte teilfolge von reellen zahlen. weiter gelte,dass jede konvergente teilfolge dieser folge zum selben grenzwert, a element R konvergiert. zeigen sie, dass dann auch (an) nach a konvergiert.

wie gehe ich da am besten ran? Very Happy
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2007 - 17:22:47    Titel:

Vielleicht ein indirekter Beweis:

Nimm an, daß die Folge (a_n)_n nicht gegen a konvergiert. Dann existiert ein ε > 0 mit der Eigenschaft

"für jeden Index n existiert ein Index n_k > n, so daß |a_(n_k) - a| > ε".

Damit erhältst Du eine Teilfolge (a_(n_k))_k von (a_n)_n, die nicht gegen a konvergiert.

Jetzt folgt (wegen Beschränktheit!) mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß, daß (a_(n_k))_k eine konvergente Teilfolge enthält, die aber ihrerseits eine Teilfolge von (a_n)_n ist und somit - nach Voraussetzung - gegen a konvergieren muß im Widerspruch zu der Annahme, daß (a_(n_k))_k nicht gegen a konvergiert
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