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Grenzwert von einer Folge
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Ein_Steinchen
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Anmeldungsdatum: 30.11.2007
Beiträge: 116

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2007 - 17:09:42    Titel: Grenzwert von einer Folge

Gegeben ist die Folge a_n=sqrt(4n^2+5n+2)-2n.
Davon soll ich den Grenzwert bestimmen und zwar mit Hilfe der Beziehung 1+x/2-x^2/2<=sqrt(1+x)<=1+x/2.

Ich habe leider nur keine Ahnung, wie ich diesen Ausdruck auf die angegebene Form bringen soll. Wenn ich da nichts umforme, habe ich zwar Terme auf beiden Seiten stehen, aber einen Grenzwert kann ich daraus nicht erkennen.

Und gleich noch eine Frage: Ich habe auf eine andere Art rausgekriegt, dass es sich um eine Nullfolge handelt. Und zwar habe ich n^2 ausgeklammert und gesehen, dass der Ausdruck in der Klammer dann den Grenzwert 4 hat. Also sqrt(n^2(4+5/n+2/n^2)). Ich habe also die Rechenregeln für Grenzwerte angewendet Danach hatte ich da stehen sqrt(4n^2)-2n=2n-2n=0. Darf man das so machen? Da hab ich meine Zweifel, weil 2n ja jeweils keinen Grenzwert hat und somit die Grenzwertsätze nur auf einen Teil angewendet wurden...
Ein_Steinchen
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Anmeldungsdatum: 30.11.2007
Beiträge: 116

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2007 - 23:17:16    Titel:

*push*
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2007 - 23:33:40    Titel:

Zitat:
..das so machen? Da hab ich meine Zweifel ... Smile

... und die sind mehr als berechtigt !

Der Grenzwert (für n -> oo Wink ) ist nicht 0 , sondern 5/4 = 1,25
wie du nun sicher mit ganz einfacher Überlegung ganz schnell selbst realisieren kannst..
denk also noch etwas nach...
.
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2007 - 23:35:32    Titel:

Hallo,

mit deinem Tip kann ich gerade auch noch nichts anfangen, kann dir
aber schonmal sagen, dass du das nicht so machen darfst, wie du es
vor hattest. Die richtige Begründung hast du ja schon selber geliefert.
Klammer mal 4n^2 aus; das kannst du dann aus der Wurzel ziehen
und der Grenzwert 5/4 (nicht 0!) wird deutlich.

Gruss,
Jockel

Edit: Mein GW 1 war falsch. Mathefans 5/4 sind richtig.
Ein_Steinchen
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Anmeldungsdatum: 30.11.2007
Beiträge: 116

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2007 - 14:25:51    Titel:

Danke für eure Antworten.

Vielleicht stell ich mich ein bisschen blöd an, aber ich komm immernoch nicht drauf. Ich hab da glaub ich was ziemlich wichtiges nicht verstanden.

Wenn ich 4n^2 ausklammere, sehe ich nicht, dass der Grenzwert 5/4 sein soll. Dann hab ich doch 2n * sqrt(1+ 5/4n - 1/n^2) - 2n. Und irgendwie geht das meiner Ansicht nach gegen unendlich, weil doch der Ausdruck in der Wurzel noch mit 2n malgenommen wird.
EDIT: Hab jetzt auch mal versucht, das Ding so zu erweitern, dass da die 3. binomische Formel steht, aber am Ende stand da immernoch ein "n"...

Und @Mathefan: Meintest du das mit der ganz einfachen Überlegung das Ausklammern oder was anderes (vielleicht mit Hilfe der in der Aufgabe gegebenen Beziehung)? Wenn ja komm ich einfach nich drauf...

Tja, um das Thema "Folgen" hab ich mich in der Schule auch schon mehr oder weniger gedrückt. Wink
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2007 - 20:46:41    Titel:

Zitat:
Dann hab ich doch 2n * sqrt(1+ 5/4n - 1/n^2) - 2n.

Und irgendwie geht das meiner Ansicht nach gegen unendlich Sad

JA, also:
2n * [sqrt(1+ 5/4n - 1/n^2) - 1 ]

... und wenn nun n->oo dann geht der erste Faktor -> oo UND GLEICHZEITIG geht der zweite Faktor
(der in der eckigen Klammer Smile ) gegen 0

und was meinst du -wer da "gewinnt" Very Happy
( oo * 0 = Sad ? )

also kurz: so wie du überlegt hast, ist nichts zu erreichen

Tipp wäre schon:
....geeignete 3. Binomformel... <- ..gleich zu Beginn ! Wink

Und ganz bestimmt: der Grenzwert existiert und ist wahrhaftig gleich 5/4 ...
also versuchs nochmal...
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