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Zentrum der Sn bzw. An
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blubba
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Anmeldungsdatum: 14.12.2007
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2007 - 19:06:30    Titel: Zentrum der Sn bzw. An

Hallo!

Ich soll das Zentrum der symmetrischen und der alternierenden Gruppe bestimmen. Leider komm ich einfach nicht voran. Ich weiß, dass das Zentrum einer Gruppe aus den Elementen besteht, die kommutativ sind. Und ich weiß auch, dass die symmetrische Gruppe für n >= 2 nicht kommutativ ist und die alternierende Gruppe auch nicht kommutiert. Gibt es dann überhaupt ein Zentrum für die beiden Gruppen?
Bin über jede Hilfe dankbar!!!
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2007 - 20:05:41    Titel:

(i) 1 € Z(G) fuer alle Gruppen G
(ii) Nicht-Kommutativ ! => triviales Zentrum. Nicht kommutativ heisst lediglich, das Z(G) != G.

Daraus folgt, das beide Gruppe ein Zentrum haben und es nicht die ganze Gruppe (für n >= 4) ist. Tipp: A_n ist bekanntermassen einfach und A_n ist ein Normalteiler (der einzige nicht-triviale für n != 4) von S_n. Das ist glaube ich nicht notwendig, um die Aufgabe zu lösen, aber sollte dir paar Ideen liefern.

sD.
blubba
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Anmeldungsdatum: 14.12.2007
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2007 - 18:20:59    Titel:

So ganz verstehe ich deine Antwort noch nicht. Ich versuche mal das wiederzugeben, was ich glaube daraus verstanden zu haben.
Das Einselement liegt in jedem Zentrum, damit hat sowohl A_n als auch S_n die 1 als Element des Zentrums. Nun sagst du, dass für nicht-kommutative Gruppen das Zentrum die ganze Gruppe ist. Das leuchtet mir nicht so ganz ein, ehrlich gesagt. Wenn im Zentrum doch alle Gruppen liegen, die kommutieren, dann hätte doch eine nicht-kommutative Gruppe keine Elemente im Zentrum bzw. nur das Einselement, weil das in jedem Zentrum liegt.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 23394

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2007 - 18:48:40    Titel:

Was brabe schreibt, ist, dass Nichtkommutativität nur nach sich zieht, dass das Zentrum nicht die volle Gruppe ist. Kommutativität ist äquivalent mit G=Z(G), aber Nichtkommutativität nicht mit Z(G)={1}.


Cyrix
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