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Vollständige Induktion
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mausiluk
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Anmeldungsdatum: 18.11.2007
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2007 - 17:08:24    Titel: Vollständige Induktion

Ich habe folgende Aufgabe:
Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl lässt bei der Division durch 8 den Rest 1.
Ich komme bis zur I-Behauptung, aber weiß leider nicht wie ich den Beweis angehen soll? Schreibe mal auf was ich bis jetzt habee:

Quadrat einer ungeraden natürliche Zahl: (2n+1)²
durch 8 den Rest 1 läßt: (2n+1)²/8 = 8 * k +1

Induktionsanfang(IA): A(1) wahr ist

(2*1 +1)²/8 = 9/8= 8*1 +1 = 9
Aussage ist wahr!

Induktionsschritt(IS):
I-Vorraussetzung: Für ein beliebiges n Element der nat. Zahlen
(2n+1)²/8 = 8*k +1

I-Behauptung: zzg.: Muss für Nachfolger n+1 gelten:
(2(n+1)+1)²/8= 8*k +1

Beim I- Beweis, komm ich nicht weiter!!
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2007 - 17:28:31    Titel:

Aussage (2n+1)² = 1 mod 8

IA:
(2*1+1)² =3² =9 = 1 mod 8

IS:
(2(n+1)+1)²
=
((2n +1) +2)²
=
(2n+1)² + 4(2n+1) +4
=
(2n+1)² + 8n +8
=
(1+0+0) mod 8

qed
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