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kombinatorik
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stoff
Gast






BeitragVerfasst am: 01 März 2005 - 16:02:31    Titel: kombinatorik

Hey,

hab hier ein kleines verständnisproblem.
aufgabenstellung ist folgende:

a) Wieviele positive lösungen gibt es für die gleichung x+y+z=20?
b) Wieviel sind es wenn y>=3 und z>=5 ist?

Also ich habe dazu schon etwas im bnetz geschaut aber ich werde aus den erklärungen nicht schlau. es wird ja immer gerne dieses schubladenbeispiel zur erklärung genommen, wo man bälle verteilt...

ich dachte mir bei a) das man um alle variablen zu besetzen schonmal jer variable 1 ball verteilt. somit bleiben nur nopch 17 weiter um sie aufzuteilen. normalerweise würde ich jetzt 17 über 3 sagen, aber das scheint falsch zu sein.

bei b) selbes problem: 3 bälle auf y, 5 bälle auf z und einen auf x (damit x auch besetzt ist) so bleiben nur noch 11 bälle zum verteilen, also würde ich wieder 11 über 3 sagen, aber das scheint wieder falsch zu sein.

in der literatur finde ich immer gleichungen ala (m+k-1) über (k-1) aber ich versteh nicht warum.

wo liegt der denkfehler?
kann mir jemand helfen?
danke
stoff
:-)
Gast






BeitragVerfasst am: 01 März 2005 - 19:24:23    Titel:

a)
1+1+18
1+2+17
1+3+16
.......
1+18+1
••••••••••
2+1+17
2+2+16
......
2+17+1
••••••••••
. . . . .
. . . . .

••••••••••
17+1+2
17+2+1
••••••••••
18+1+1

Insgesamt gibt es N Lösungen
N = 18+17+...+2+1 = ½*18*(1+18) = 171

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 01 März 2005 - 19:39:43    Titel:

zu Aufgabe 1

a) ja, (20+3-1) über (3-1) ist richtig

du hast ja die Gleichung x+y+z = n , n = 20 (3 Summanden => k = 3)

und das entspricht den geordneten Zahlenpartitionen von k mit n Summanden.

Wenn nun x,y,z nicht 0 sein dürfen, dann gilt formel: (n-1) über (k-1)
Wenn x,y,z 0 sein dürfen (wie in 1.a) ) dann gilt: (n+k-1) über (k-1)

Wenn z.B.gilt: x+y+z=n => (n-1) über (k-1) = Anz. Mgl. ohne Null

Dann kann man Gleichung umschreiben...

x+y+z = n <=> (x+1) + (y+1) + (z+1) = (n+3) (k = 3)
Nun ist die Klammer ja eins, falls x, y,z = 0
somit einfach in obige Formel fuer n = n+k einsetzen und es folgt..

Anz. Mgl. mit 0 = (n+k-1) über (k-1)

Also Aufgabe 1.a)

22 über 2 = 22*21 / 2 = 231

Aufgabe 1.b)

Da nun y>=3 und z>= 5 muss x<=12

=> Anz. der Mgl: Summe (von x = 0 bis 12: (20-x) über (1))
=> Anz. der Mgl: Summe (von x = 0 bis 12: (20-x))

=> Anz. der Mgl = 20+19+18+........12 = 182

Da bei 1.b) x festgelegt wird, gibt es nur die gleichung y+z = 20-x = n

und da y>=3 und z>= 5 gilt formel: (n-1) über (k-1) ...

-ohne gewähr-

cu...
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