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injektive Matrix
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Gast







BeitragVerfasst am: 02 März 2005 - 18:18:21    Titel: injektive Matrix

Guten Tag!


Kann mir vielleicht jemand erklären warum die durch die Matrix

(12)
(23)
(34)

vermittelte Abbildung von R^2 nach R^3 injektiv ist?

Ich begreife irgendwie nicht was die Matrix mit einer Abblidung zu tun haben soll und warum die gerade injektiv ist.
Kann mir das jemand erklären

Herzlichen Dank

Martin
3li7är
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Anmeldungsdatum: 04.02.2005
Beiträge: 357

BeitragVerfasst am: 02 März 2005 - 18:44:21    Titel:

annahme:

die abb. f:R^2->R^3: (a,b) -> (a,2a,3a) +(2b,3b,4b)

wäre nicht injektiv

dann gibt es a,b und a',b' , die nicht identisch sind, mit f((a,b))=f((a',b'))

das hieße aber:



(a,2a,3a) +(2b,3b,4b)-(a',2a',3a') +(2b',3b',4b')=0

das geht aber nicht, weil die beiden spalten der matrix linear unabhängig sind

gruß
otto
Gast







BeitragVerfasst am: 03 März 2005 - 12:07:03    Titel:

Kann man das so verallgemeinern:

Spalten der Matrixabbildung linear unabhängig=> Abbildung injektiv
Spalten der Matrixabbildung linear abhängig=> Abbildung surjektiv

oder gibt es da Einschränkungen?

Wann ist die Abbildung denn bijektiv?
Gast







BeitragVerfasst am: 03 März 2005 - 19:12:30    Titel:

hallo?
Kann mir das niemand sagen oder einen tipp geben?
Gruß
Martin
Gast







BeitragVerfasst am: 04 März 2005 - 19:03:54    Titel:

Bitte eine Frage noch:

die folgende Abbildungsmatrix vom R^3 nach R^3 soll angeblich bijektiv sein, ich frage mich nur wieso.

(1 0 2)
(1 0 1)
(0 1 0)

Hat das irgendwas damit zu tun, dass vom R^3 nach R^3 abgebildet wird?
Die Spalten der Matrix sind linear unabhängig, das spricht für injektiv.
xaggi
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 04 März 2005 - 19:32:49    Titel:

>Kann man das so verallgemeinern:
>Spalten der Matrixabbildung linear unabhängig=> Abbildung injektiv
>Spalten der Matrixabbildung linear abhängig=> Abbildung surjektiv

Es gilt: die lineare Abb. T ist genau dann injektiv wenn Ker T = 0.

Nach der Dimensionsformel folgt dann rg T = dim Im T = n (n ist die Dimension des jew. Vektorraumes, vorrausgesetzt dieser ist endlichdimensional).

Da der Rang der Matrix zu T gleich dem Rang von T ist, und der Rang der Matrix als dimension des Erzeugnisses der Spalten/Zeilenvektoren definiert ist, folgt deine Verallgemeinerung.
xaggi
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 04 März 2005 - 19:43:44    Titel:

> die folgende Abbildungsmatrix vom R^3 nach R^3 soll angeblich bijektiv sein, ich frage mich nur wieso.

Ich nenne die Matrix A.
Wie du schon sagst: Da rg A = 3 folgt injektivität.

Sei (a1,a2,a3) aus R^3, dann ist

A (2a2-a1,a3,a1-a2)^t = (a1, a2, a3)^t

und somit R^3 teilmenge Im A, Im A teilmenge R^3 ist trivial, also Im A = R^3 und damit ist A surjektiv.
Gast







BeitragVerfasst am: 04 März 2005 - 22:51:09    Titel:

wofür steht Im? Für Abbildung?
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