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Kriterium für lokales Extremum
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jawissimo
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Newbie


Anmeldungsdatum: 12.02.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 02 März 2005 - 17:20:52    Titel: Kriterium für lokales Extremum

Hallo Leute!

Kann mir jemand anhand dieses gegebenen Beispiels erklären, waum "ein Vorzeichenwechsel von f' an der Stelle x0 lediglich hinreichend für die Existenz lokaler Extrema von f ist." Er ist nicht notwendig.

Das Beispiel ist folgende gegebene Funktion:

2x² + x² sin 1/x ; für x≠0
f(x) =
0 ; für x=0

Ergänzend wird hinzugefügt: "f liegt zwischen zwei Parabeln und hat an der Stelle 0 ein lokales Minimum. Die Steigung von f wechselt aber um so rashcer von positiven zu negativen Werten, je nächer man der 0 kommt. Also gibt es keine Nullumgebunb U, so dass für alle x *element* U gilt

f'(x) < 0 für x<x0 und f'(x) >0 für x>x0

Mit anderen Worten: f hat bei x0=0 ein lokales Minimum, ohne dass f' bei x0 einen Vorzeichenwechsel hat."

Ich verstehe das überhaupt nicht! Warum hat f' bei x0 keinen Vorzeichenwechsel wenn vorher behauptet wird:
f'(x) < 0 für x<x0 und f'(x) >0 für x>x0

Danke!
3li7är
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Anmeldungsdatum: 04.02.2005
Beiträge: 357

BeitragVerfasst am: 02 März 2005 - 17:35:37    Titel:

hallo,

das problem ist, dass f' in jeder noch so kleinen umgebung von 0 negative werte und positivewerte unendlich oft annimmt. für eien vorzeichenwechsel im sinne des kriteriums bräuchte man aber eine umgebung von 0, wo f' links von 0 immer negativ und rechts von 0 immer positiv ist.

kurz gesagt hänen die probleme damit zusammen, dass die funktion zwar auf ganz R differenzierbar ist, in 0 die ableitung aber nicht stetig ist.

gruß
otto
Ingobar
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Anmeldungsdatum: 25.02.2005
Beiträge: 384

BeitragVerfasst am: 02 März 2005 - 20:06:03    Titel:

Vielleicht ist dir noch nicht der Unterschied zwischen hinreichend und notwendig klar:

1) Wenn du Bus fahre willst, dann ist es notwendig, dass du zur Bushaltestelle gehst. Das heißt aber noch nicht, dass du fahren wirst.

2) Wenn du 1.000.000 Euro monatlich verdienen würdest, dann kannst du damit deine 2000Euro Miete zahlen. Du hast hinreichend genug Geld zum bezahlen. Also mehr also nötig, daher ist es nicht notwendig 1.000.000 Euro im Monat zu verdienen. 2000Euro würden ja theoretisch auch genügen.

ingobar
3li7är
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Anmeldungsdatum: 04.02.2005
Beiträge: 357

BeitragVerfasst am: 02 März 2005 - 21:16:33    Titel:

jawissiwos frage ist, warum die voraussetzungen des kriteriums nicht notwendig sind.

bei stetiger differenzierbarkeit sind sie es nämlich.

gruß
otto
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