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Bijektion
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Gartenkralle Deluxe
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Anmeldungsdatum: 07.10.2007
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2008 - 17:52:04    Titel: Bijektion

Hallo,

ich soll eine Bijektion von A = 3N+1 auf B = 2N+2 angenben

reicht es, wenn ich da folgendes schreib:

{4, 7, 10, 13, 16. 19, ...}
{4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}


Question
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2008 - 18:32:20    Titel:

Wenn ich mich nicht täusche, kann man doch auch eine geschlossene Funktion angeben, die bijektiv ist, und Elementen aus der Menge A Elemente der Menge B zuordnet.

A={a: a=3n+1; n€|N}
B={b: b=2n+2; n€|N}

Jetzt brauchen wir eine Funktion f(a) die bijektiv ist und deren Wertebereich B ist. Man kann sich nun fragen, was man mit Elementen von A anstellen muss, damit sie Elemente von B werden.

a=3n+1
<=> a=2n+n+1
<=> a=(2n+2)+n-1

Der eingeklammerte Ausdruck entspricht einem Element von B, also ist das Ziel die Ausdrücke, die nicht in der Klammer stehen verschwinden zu lassen, damit aus dem Element aus A eines aus B wird, dies kann man aber ganz leicht erreichen, indem man n abzieht und 1 addiert, da

(2n+2) +n-1+(1-n) = 2n+2

Also wäre eine mögliche bijektive Funktion doch

f(a;n)=a+(1-n)

Jetzt ist aber doch das Problem, dass diese Funktion sowohl von a als auch von n abhängt, aber aus der Gleichung
a=3n+1
gewinnt man leicht
(a-1)/3=n
womit wir endgültig schreiben können:

f(a)=a+(1-(a-1)/3)

oder gleichwertig

f(a)=(2a+4)/3

Wenn ich Unsinn verzapfe, bitte ich darum, mich zu korrigieren.
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2008 - 18:33:45    Titel:

Wenn du jeder Zahl der Form 3n + 1 eine Zahl der Form 2n + 1 zuordnen sollst, dann setze einfach z = 3n + 1, forme nach n um und setze dann in 2n + 1 ein. Das duerfte ein bijektive Funktion in abhaengigkeit von z ergeben.
Gartenkralle Deluxe
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Anmeldungsdatum: 07.10.2007
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2008 - 18:50:42    Titel:

Ah Danke für den Umfassenden Beitrag, dass hat mir sehr weitergeholfen Smile
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