linear unabhängige Vektorne bilden KEINE Basis?

MatheMartin · Gast

Hallo allerseits.

Ich schreibe bald Matheprüfung, nur ist mir das Thema Abbildungen ein Graus.
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:

Es sei W die durch:

W: (1,0,1)->(1,0,2); W:(1,1,1)->(-1,0,4); W:(-1,0,1)->(0,0,2)

(alle Vektoren transponiert)

definierte lineare Abbildung und W die zugehörige Matrix.

Frage:"Wiso bilden die Bildvektoren(1,0,2)^T; (-1;0;4)^T und (0;0;2)^T keine Basis des R^3 "
Schließlich sind sie doch linear unabhängig?
Das macht für mich keinen Sinn, für euch vielleicht?

Schönen Gruß

Martin

Gast

Die sind nicht linear unabhängig.

(1,0,2)+(-1,0,4)-3*(0,0,2)=(0,0,0)

Sieht man auch leicht daran, dass die y-Komponte deiner Vektoren immer null ist. Dadurch liegen sie in der x-z-Ebene, und drei Vektoren in einer Ebene sind immer lin. abhängig.

Gast

Achso..ja klar, danke.

Ich habe noch eine kurze Frage.

Die Matrix W soll angeglich nicht regulär sein, aber was ist überhaupt die Matrix W.
Sind das die Bildvektoren oder die Urbildvektoren?

Vielen Dank

Martin

xaggi · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.03.2004 Beiträge: 1190

W ist die Matrix mit

W (1,0,1)^t = (1,0,2)^t
W (1,1,1)^t = (1,0,4)^t
W (-1,0,1)^t = (0,0,2)^t

Gast

Also ist W eine 3*3-Matrix, die wenn man einen Urbildvektor damit multipliziert, den Bildvektor erhält, richtig?

Wie kommt man dann darauf, dass W nicht regulär ist, schließlich hat man W doch gar nicht(die Zahlenwerte meine ich)?

xaggi · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.03.2004 Beiträge: 1190

> Also ist W eine 3*3-Matrix, die wenn man einen Urbildvektor damit multipliziert, den Bildvektor erhält, richtig?

Ja

> Wie kommt man dann darauf, dass W nicht regulär ist, schließlich hat man W doch gar nicht(die Zahlenwerte meine ich)?

W ist eine lineare Abbildung. Durch die Wirkung auf die Basis (3 lin. unabh. Vektoren) ist W eindeutig festgelegt. Für v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 gilt

W v = a1 W v1 + a2 W v2 + a3 W v3. Dabei sind W v1, W v2 und W v3 lin. abhängig, also folgt

dim Im W = rg W < 3

W ist aber genau dann regulär wenn rg W = 3.