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Monotonie nachweisen
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Belzebub
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Anmeldungsdatum: 27.02.2005
Beiträge: 122

BeitragVerfasst am: 03 März 2005 - 19:33:14    Titel: Monotonie nachweisen

Hallo kann mir bitte jemand an den beispiel erklären ausführlich wenns geht wie das funktioniert wäre echt nett?
ich weiß das sie monotonfallend ist aber wie kann ich das rechnerisch nachweisen bei einfacheren Beispielen hab ich damit aber kein problem

3n
______
an= 2n²-n+2
Belzebub
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Anmeldungsdatum: 27.02.2005
Beiträge: 122

BeitragVerfasst am: 03 März 2005 - 19:35:25    Titel:

mist

also es sollte natürlich ein Bruch sein der =an

an=.....3n
.........._____
..........2n²-n+2
Belzebub
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Anmeldungsdatum: 27.02.2005
Beiträge: 122

BeitragVerfasst am: 03 März 2005 - 20:04:25    Titel:

bitte ich schreib morgen klausur und komm echt nicht klar wäre voll nett
Ingobar
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Anmeldungsdatum: 25.02.2005
Beiträge: 384

BeitragVerfasst am: 03 März 2005 - 20:26:37    Titel:

Die Folgenglieder sind also:

a_n = 3n/2n^2-n+2

Da n ungleich Null ist, kannst du durch die höchste Potenz teilen:

a_n = (3/n)/(2-1/n+2/n^2)

wenn jetzt n größer wird, passiert folgendes:

Der Zähler 3/n ->0
Der Nenner geht gegen 2 und damit der gesamte Bruch gegen 0/2 = 0

ingobar
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 03 März 2005 - 20:31:09    Titel:

Hi,
eine Folge a_n ist streng monoton fallend, wenn gilt:

a_(n) > a_(n+1); d.h. wenn das Nachfolgeglied kleiner als das vorangehende Glied ist; setzt man ein, dann folgt:

3n/(2n²-n+2) > 3(n+1)/(2(n+1)²-(n+1)+2

da für n>0 die Nenner >0 sind darf man übers Kreuz multiplizieren:
3n*[(2(n+1)²-(n+1)+2] > 3(n+1)*(2n²-n+2)

diese Ungleichung musst du links und rechts ausmultiplizieren:
3n*[(2n²+4n+2)-(n+1)+2] > (3n+3)*(2n²-n+2)
3n*[2n²+3n+3] > (3n+3)*(2n²-n+2)
6n³ + 9n² + 9n > 6n³ - 3n² + 6n + 6n² -3n +6
6n³ + 9n² + 9n > 6n³ + 3n² + 3n +6
6n² +6n > 6

dies ist für alle n>0 erfüllt; also: die Folge <a_n> ist streng monoton fallend

Nachtrag:
Die Beweisführung der Monotonie ist nicht gleichbedeutend mit dem Nachweis, dass eine Folge einen Grenzwert besitzt. So kann eine Folge z.B. a_n = 1/n*(-1)^n) durchaus den Grenzwert g = 0 haben, wenn n->oo geht, die Folge ist aber nicht monoton, weil sie ein alternierendes Vorzeichen besitzt.


Zuletzt bearbeitet von aldebaran am 03 März 2005 - 20:38:25, insgesamt einmal bearbeitet
Belzebub
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Anmeldungsdatum: 27.02.2005
Beiträge: 122

BeitragVerfasst am: 03 März 2005 - 20:35:40    Titel:

danke ich habs kapiert, ich komm auf euch zurück
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