Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Winkel bestimmen bei einer e-Funktion
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Winkel bestimmen bei einer e-Funktion
 
Autor Nachricht
DeVenus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.01.2007
Beiträge: 676

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2008 - 19:37:14    Titel: Winkel bestimmen bei einer e-Funktion

Irgendwie weiß ich nicht wirklich weiter..
Ich schreib erstmal die Aufgabe und dann meine Lösungen die ich mir bisher überlegt habe (ob sie richtig sind, ist die andere Frage Laughing )

f(x) = e^x Def.Menge= R

Ein Kurvenpunkt A und der Urspung O legen die Gerade OA fest.
Bestimme A so, dass der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Gerade OA minimal ist.

Meine Lösungen bisher:
Die Gerade muss durch den Punkt A mit dne Koordinaten (X / e^x ) gehen.

Die Steigung der Geraden ist ja allgemein : y= mx+t (t ist in dem Falll 0 )

also: e^x = m*x
=> m= e^x / x (nennen wir einfach mal h(x) )

um die Steigung zu bekommen leite ich jetzt ab:

h´(x) = e^x *1/x + e^x* (- 1/(x^2) ) = e^x * (x-1)/(x^2)

Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter was ich dann machen soll.. wie komme ich jetzt auf die Koordinaten von A ?!


Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte !!
Mindworm
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2008 - 19:42:49    Titel:

Du hast da eine Extremwertaufgabe.. und du gehst sie auch richtig an. Aber warum hörst du auf?
Die Funktion h(x) bezeichnet die Steigung deiner Geraden in Abhängigkeit von A. Du willst einen Minimalwert, also ein Extremum der Funktion. Deshalb leitest du ab. Du brauchst nur noch die Nullstellen der Ableitung, die du schon als Produkt ausgedrückt hast (Satz vom Nullprodukt). Dann musst du feststellen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt (2. Ableitung), evtl. die Ränder betrachten und bist fertig Smile
DeVenus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.01.2007
Beiträge: 676

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2008 - 19:49:20    Titel:

Puhh, dann wars ja garnicht mal so verkehrt..

Nullstellen, ja also f´(x) = 0

ohje mine, wie soll ich denn bei so einer komplizierten gleichung auf die Nullstellen kommen?! Shocked

Und ne 2.Ableitung bilden, also das übersteigt Wirklich meinen Horizont..
für einen leihteren Fall könnte ich es.. Confused
Mindworm
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2008 - 19:57:16    Titel:

Zitat:

ohje mine, wie soll ich denn bei so einer komplizierten gleichung auf die Nullstellen kommen?!

Hatte ich das nicht schon gesagt?
Zitat:
Satz vom Nullprodukt

Überleg dir doch einfach, welche Faktoren in deiner Ableitung:
h'(x)=
Zitat:
e^x * (x-1)/(x^2)

überhaupt 0 werden können? e^x? 1/x²? (x-1)?
Und die zweite Ableitung wird wesentlich einfacher, wenn du dich nur um >0 und <0 kümmern musst. Da kannst du nämlich die Funktion vorher durch e^x teilen (weil es auf das Vorzeichen keinen Einfluss hat) und mit x² multiplizieren, da das auch nichts am Vorzeichen ändert (Es gibt aber immernoch eine Definitionslücke bei x=0), übrig bleibt h'(x)=...(x-1)
Das sieht doch schon viel besser aus, oder nicht?
DeVenus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.01.2007
Beiträge: 676

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2008 - 20:01:36    Titel:

Ich hab noch nie was von einem Satz vom Nullprodukt gehört, wirklich nicht.

also e^x wird nicht null 1/x^2 auch nicht.. also ist die NullStelle 1?
Was meinst du denn mit "nur um >0 und <0 kümmern?!

d.h. ich muss nur die Funktion h´(x)= x-1 ableiten?

Das wäre dann auch wieder 1 Shocked .. sehr komisch..

Gibt irgendwie keinen wirklichen Sinn
Mindworm
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2008 - 20:16:42    Titel:

Hm, ganz so einfach wie ich dachte, war es doch nicht. Bei dir kam aber (leider durch Zufall) trotzdem das richtige heraus: die zweite Ableitung an der Stelle 1 ist positiv. Also handelt es sich um ein Minimum, du hast den x-Wert gefunden.
Jetzt zu dem anderen Teil.. Asche auf mein Haupt Sad so darf man nicht vereinfachen. Was aber geht, ist folgendes:
h'(x)=e^x*(x+1)/x²
e^x=u(x)
(x+1)/x²=v(x)
Produktregel:
h''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Da u(x)=u'(x) und kein Vorzeichenwechsel in u(x) auftritt, darf ich dadurch teilen, ohne dass das Vorzeichen sich ändert.
h''(x)=v(x)+v'(x) zumindest was die Vorzeichen betrifft...
DeVenus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.01.2007
Beiträge: 676

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2008 - 20:34:19    Titel:

Hm, also irgendwie hab ich son bissl den Faden verloren.
Werd wohl doch drauf warten müssen dass wir so korrigieren, aber danke trotzdem.

Bin mit den Ableitungen von solchen Funktionen noch nicht so vertraut und bau da immer zig Fehler ein..
DeVenus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.01.2007
Beiträge: 676

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2008 - 20:09:16    Titel:

Kann mir vielleicht jemand mit "anderen" Worten weiterhelfen?

Grübel immernoch...
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2008 - 21:53:45    Titel:

.

Zitat:
Grübel immernoch... Smile

wieso denn das?
du hast doch (fast) alles schon selbst richtig angepackt:
Zitat:
=> m= e^x / x (nennen wir einfach mal h(x) ) also:

h(x) = e^x / x ........ (mit x>0)

um die EXTREMA DIESER Steigung zu bekommen leite ich jetzt ab:

h´(x) = e^x *1/x + e^x* (- 1/(x^2) ) = e^x * (x-1)/(x^2)

so .. und die Extrema, weisst du, findet man vielleicht dort, wo die Ableitung den Wert 0 hat.
für welche x ist also h'(x) = 0 ? ->

[(x-1)*e^x ]/(x^2) = 0

wann wird ein Bruch den Wert 0 haben? - richtig, wenn der Zähler 0 wird
(und der Nenner nicht gleichzeitg auch ..)
also hier:

(x-1)*e^x = 0
wann ist ein Produkt 0? ... wenn mindestens einer der Faktoren 0 wird - ok?

kann e^x = 0 sein ... NEIN
also bleibt:
x - 1 = 0 ... oder ... x= 1

..die mühsame Geschichte mit der zweiten Ableitung - um zu sehen obs ein Minimum ist -
kannst du dir sparen.
für x ≠ 1 ist h(x)> h(1) ... ..also e^(x - 1 ) > x

Very Happy -> dein gesuchter Punkt A auf der Kurve f(x) = e^x hat also die Koordinaten A( 1/ e)
die Steigung der Geraden OA ist h(1)= m = e/1 = e
der kleinste Steigungswinkel ist dort also ≈ 69,8° Very Happy

ok?
.
DeVenus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.01.2007
Beiträge: 676

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 15:13:38    Titel:

Zitat:
der kleinste Steigungswinkel ist dort also ≈ 69,8°


Ist das überhaupt das, was gefragt ist??

Es ist doch nach einem Minimalen Winkel zwischen der x-Achse und dem Graphen gefragt.. der erscheint mir aber sehr groß...
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Winkel bestimmen bei einer e-Funktion
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Seite 1 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum