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Integration con cos²x
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sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:03:04    Titel: Integration con cos²x

Moin!

Ich habe ein Problem und weiß nicht wie ich cos²x integrieren soll.

Ich habe nen Tipp bekommen, dass ich es per partieller Integration machen soll.

Es handelt sich dabei ja um diese Regel!

Nun hab eich folgendes gemacht:

f(x)= cosx f'(x)=-sinx
g'(x)= cosx g(x)= sinx

Wenn ich das nun in die Formel einsetze, bekomme ich beim Integral sin²x raus. Also habe ich noch eine partielle Integration gemacht und bin da leider wieder auf cos²x gekommen! (Jeweils -1 vor das Integral geschrieben)

Kann mir jemand sagen, wie ich da rauskomme?!

Gruß
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:10:02    Titel:

exakt.

wenn du jetzt also hast:

int[cos²] = ........... - int[cos²]

kannst du einfach

2*int[cos²] = ..........

dann noch durch 2 teilen und fertig Wink
sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:14:34    Titel:

also war es richtig 2x partiell zu integrieren und dann mit dem ausgangsintegral gleichsetzen! habe ich das so richtig verstanden?

danke schonmal Very Happy

ich habe folgendes raus:

int cos²x = [cosx*sinx]+[sinx*(-cosx)] + int cos²x

da kommt auf der einen seite aber dann 0 raus...das ist doch nicht richtig oder?
sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:42:17    Titel:

mal von vorne:
ich soll einen schwerpunkt einer fläche berechnen!

das integral sieht so aus:

int(0-> pi/4) von cosx dx (obere Grenze: pi/4 | untere: 0)

Für x habe ich folgenden Wert: 0,37118 (das stimmt auch mit der Lösung überein)
Bloß für den y-Wert komm eich auf einen falschen Wert.

Für den y-Wert habe ich folgende Formel:

y= 1/(2A) * int f²(x) dx

Somit komme ich auf folgendes Integral:

1/(sqrt 2) * int cos²x dx

Nun meine Rechnung:
1. partielle Integration:
f(x)= cosx f'(x)=-sinx
g'(x)= cosx g(x)= sinx

[cosx*sinx] + int sin²x

2. partielle Integration:
f(x)= sinx f'(x)=cosx
g'(x)= sinx g(x)= -cosx

[sinx*(-cosx)] + int cos²x

Zusammengefügt ergibt das:
[cosx*sinx] + [sinx*(-cosx)] + int cos²x
Dann gleichgesetzt mit dem Anfangsintegral:
int cos²x = [cosx*sinx] + [sinx*(-cosx)] + int cos²x
0= [cosx*sinx] + [sinx*(-cosx)]

Nun die Grenzen eingesetzt:
(cos pi/4 * sin pi/4) - 0 + (sin pi/4 * (-cos pi/4)) -0
2((1/2)sqrt2) - 2((1/2)
=0

Rauskommen soll aber: 0.45446

Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler ist?
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:47:47    Titel:

nachdem du das hier hast

[cosx*sinx] + int sin²x

solltest du das umschreiben zu

[cosx*sinx] + int (1-cos²x) = [cosx*sinx] + int(1) -int(cos²x)

und dann int[cos²x] rüberbringen.


also nur einmal partiell integrieren
splash1942
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Anmeldungsdatum: 24.05.2007
Beiträge: 135

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:50:49    Titel:

dein fehler liegt darin, dass du, wenn du das letzte integral herüberziehst das eigentliche integral eleminierst. das liegt daran, dass du eigentlich etwa 3 mal partiell integrieren sollst und das letzte integral müsste ein negatives vorzeichen haben, so dass nach dem du es auf die andere seite schafft steht:

2*(int cos^2)=....

stehen hast und dann das ganze durch 2 nochmal teilen musst.
gucke dir nochmal genau die vorzeichen an, die dein integral nach jeder partiellen integration besitzt, dass letzte muss auf jedenfall ein minus haben, außerdem ist die partielle integration eine reihe,d.h. du kannst sie nicht so einfach unterteilen, wie du das oben gemacht hast, hoffe das hilft dir^^.
sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:53:28    Titel:

[cosx*sinx] + int (1-cos²x) = [cosx*sinx] + int(1) -int(cos²x)


du hast also das sin²x durch 1-cos²x ausgetauscht,ne?!

also nach dieser Regel: sinx²x + cos²x = 1 ??? richtig verstanden?
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:56:54    Titel:

exakt Smile
sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 17:59:54    Titel:

aber war denn mein weg falsch?

also zwei mal integrieren?

ich rechne erst nochmal ein mit dem neuen weg
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2008 - 18:03:20    Titel:

sheddy hat folgendes geschrieben:
aber war denn mein weg falsch?

also zwei mal integrieren?

ich rechne erst nochmal ein mit dem neuen weg
Ja, der war falsch, da du die vorher abgeleitete Funktion wieder aufgeleitet hast Wink
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