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vollständige Räume
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Gast







BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 16:02:40    Titel: vollständige Räume

Hilfe! Stehe kurz vor der Zwischenprüfung und stoße in einem Prüfungsbericht auf die Frage: Warum ist der Raum der Maximumsnorm von stetigen Funktionen auf einem kompakten metrischen Raum vollständig? Leider konnte der Prüfling die Frage nicht beantworten (bzw. falsch) worauf der prof meinte "man braucht nur gleichmäßige Konvergenz" und dann überleitete "wo wir schon bei Stabilitätssetzen sind..."
Ich denke mal dass es also auch was mit der Stabilität von Stetigkeit gegenüber gleichmäßiger Konvergenz zu tun hat. Das hieße jede stetige Funktion auf kompakten metr. Raum mit Maximumsnorm wäre Grenzwert von einer Folge stetiger Funktionen (gleichmäßige Konvergenz dieser gegen f) aber wie kommt man von da dann darauf, dass jede Cauchyfolge konvergiert, (was ja gezeigt werden soll)? Kann mir bitte irgendjemand helfen??? Ich blicke das mit den Cauchyfolgen in anderen Räumen als R eh nicht vorstellen. Wie sehen die denn aus. Sind das dann Folgen von Funktionen oder wie? Wäre super nett, wenn sich jemand meiner annehmen würde. Danke
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 23:38:08    Titel: Re: vollständige Räume

Anonymous hat folgendes geschrieben:
Warum ist der Raum der Maximumsnorm von stetigen Funktionen auf einem kompakten metrischen Raum vollständig?

Das ist schon mal bescheuert formuliert-der "Raum der Maximumsnorm" ist ein Konstrukt, das nicht existiert. Gemeint war wohl, der Raum der stetigen Funktionen, versehen mit der Maximumsnorm (bzw. eigentlich heißt die Supremumsnorm).
Konvergenz in der Supremumsnorm ist gleichbedeutend mit gleichmäßiger Konvergenz-und der gleichmäßige Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen ist wieder stetig, das wird in der Analysis bewiesen. Bei punktweiser Konvergenz ist das falsch, wie das Standardbeispiel f_n(x) = x^n auf [0,1] beweist.

Zitat:
Das hieße jede stetige Funktion auf kompakten metr. Raum mit Maximumsnorm wäre Grenzwert von einer Folge stetiger Funktionen (gleichmäßige Konvergenz dieser gegen f) aber wie kommt man von da dann darauf, dass jede Cauchyfolge konvergiert, (was ja gezeigt werden soll)?

s.o.-Beweis weiß ich nicht auswendig, aber das muss doch in der Vorlesung bewiesen worden sein. Dass Konvergenz in der sup-Norm gleichbedeutend mit gleichmäßiger Konvergenz ist, das sieht man leicht (A = für alle, E = es gibt, e = epsilon, N: nat.Zahlen, R:reelle Zahlen)

||f_n - f|| => 0
<=> A e > 0 E n_o € N A n > n_0: ||f_n - f|| < e
<=> A e > 0 E n_0 € N A n > n_0: sup(x € R) |f_n(x) - f(x)| < e
<=> A e > 0 E n_0 € N A n > n_0 A x € R: |f_n(x) - f(x)| < e

n_0 hängt also nicht von x ab, die Konvergenz ist gleichmäßig. Wie man hiervon jetzt zu der Aussage kommt, dass f stetig ist, wenn alle f_n stetig sind, das müsste ich mir erst noch überlegen oder es nachlesen. Confused

Ach so, die Kompaktheit müsste so eingehen, dass man ja braucht, dass der Raum abgeschlossen ist, sonst könnte ich den Übergang von f_n zu f ja nicht unbedingt machen, ohne den Raum zu verlassen. Ich meine, dass in metrischen Räumen kompakte Mengen auch abgeschlossen sind, aber sicher bin ich mir nicht-eigentlich heißt es nach Definition ja nur, dass jede Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.

Zitat:
Sind das dann Folgen von Funktionen oder wie?

Im obigen Fall ja, natürlich.
Gast







BeitragVerfasst am: 07 März 2005 - 08:52:33    Titel:

cool danke. ja metr räume sind kompakt genau dann wenn sie beschränkt und abgeschlossen sind. und die maximumsnorm geht hier auch, da es einen satz gibt, der besagt dass jede stetige funktion auf einem kompakten raum ihr maximum annimmt. aber mit supremumsnorm geht es auch da hatte ich in einem anderen prüfungsbericht auch ein bsp da stand "menge der beschränkten funktionen mit supremumsnorm". aber danke du hast mir sehr geholfen!
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