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gleichungssystem
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michael8783947
Gast






BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 21:22:50    Titel: gleichungssystem

folgendes system:

1. gleichung: px+y+z=0
2. gleichung: x +py+z=0
3. gleichung: x+y+pz=0

das system ist mit fallunterscheidung für alle parameter (p element der reelen zahlen) zu lösen.

lösung:

p=-2
p=1
p ungleich -2, 1

dann sind noch die lösungen für x, z, z angefügt.


meine frage wie kommt man darauf?? wieso gibt es verschiedene p-werte? was ist eine fallunterscheidung?

mfg michael
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 21:45:44    Titel:

Aus 1) minus 2) und aus 2) minus 3) folgt:

x(p-1) - y(p-1) = 0
y(p-1) - z(p-1) = 0

Wenn p ≠ 1 ist, dann kann man durch (p-1) dividieren (das ist die Fallunterscheidung)

Dann folgt

x = y und
y = z und

Also x = y = z

Dann muss aber p = -2 sein.


Für p = 1 gibt es unendlich viele Lösungen, weil die einzige Bedingung dann ist

x + y + z = 0

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 21:59:40    Titel:

versteh ich nicht... in meinem lösungsbuch steht:

p=-2 -> (landa/landa/landa) mit landa element der reelen zahlen
p=1 -> (-mü-landa/mü/landa) mit mü, landa element der reelen zahlen
pungleich -2 ungleich 1 -> (0/0/0)

landa und mü sind die griechischen buchstaben gemeint, keine ahnung wie man die hinkriegt.
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 22:11:39    Titel:

Anonymous hat folgendes geschrieben:
versteh ich nicht... in meinem lösungsbuch steht:

p=-2 -> (landa/landa/landa) mit landa element der reelen zahlen
p=1 -> (-mü-landa/mü/landa) mit mü, landa element der reelen zahlen
pungleich -2 ungleich 1 -> (0/0/0)

landa und mü sind die griechischen buchstaben gemeint, keine ahnung wie man die hinkriegt.


p=-2 -> (landa/landa/landa)

Das heißt nichts anderes, als dass x = y = z ist. Ein Vektor aus x,y,z lässt sich dann darstellen als ( λ / λ / λ ).

---------------------------------------------
p=1 -> (-mü-landa/mü/landa)

Das ist für den zweiten Teil. hier habe ich mich falsch ausgedrückt. Unendlich viele Lösungen gibt es auch für den 1. Teil.

Weiter hier.

Wenn x + y + z = 0, dann folgt daraus x = -y-z

Und das wieder als Vektor in griechischen Buchstaben.

(-Ц-λ / Ц / λ)

Hier hat also y den Wert Ц und z den Wert λ

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 22:14:35    Titel:

nichts für ungut... aber ich blick nicht durch. bin wohl zu dumm dafür...
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 22:16:51    Titel:

Mach es gleich nochmal ausführlicher, dauert nur ein paar Minuten.


Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 22:30:42    Titel:

Du hast 3 Gleichungen

1.: px+y+z=0
2.: x +py+z=0
3.: x+y+pz=0

Um diese Gleichungen zu lösen, muss man sie so umformen, dass man unbekannte Größen eliminiert.

Also wenn x,y,z in der Gleichung sind, muss man schauen, dass zum Beispiel nur noch x und y vorhanden sind.

In Gleichung 1 und 2 bietet sich das z an, da es ohne jeden Faktor dasteht.

Ziehe jetzt von der Gleichung 1 die Gleichung 2 ab, auf der rechten Seite bleibt ja die 0 stehen.

1) - 2)

px+y+z - (x +py+z) = 0

px+y+z - x - py-z = 0 (hier fällt das z jetzt raus)

px + y - x - py = 0 (jetzt fasse ich ich die x und die y zusammen)

px - x + y - py = 0 (nun kann man x und y ausklammern)

x(p-1) -y(p-1) = 0

(nur, wenn p ≠ 1 ist, darf ich durch (p-1) dividieren. Wäre p = 1, dann ist (p-1) = 0 und durch 0 darf man nicht dividieren.

Nach der Division steht da

x(p-1) -y(p-1) = 0 =>

x - y = 0 => x = y

Genau auf die gleich Art gehe ich bei Gleichung 2) und 3) vor, nur dass dort dann das x rausfällt und am Ende steht

y = z

Wenn aber x = y und y = z, dann ist x = z. Das heißt alle 3 Variablen haben den selben Wert, in der Aufgabe λ genannt

x = λ
y = λ
z = λ

lässt sich schreiben als (λ / λ / λ)


Nach wie vor müssen ja die drei Gleichungen gelten, also

1)px+y+z=0

x,y,z eingesetzt

p λ + λ + λ = 0 = λ(p+2)
Wenn aber λ nicht 0 ist, dann muss (p + 2) = 0 sein und somit

p = -2

Habe ich das bis hierher verständlich formuliert?

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 22:35:57    Titel:

ja bis jetzt ist es klar
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 22:38:27    Titel:

Okay, der nächste Teil folgt in wenigen Minuten ...

Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 22:49:53    Titel:

Jetzt zur Fallunterscheidung.

Vorher hatten wir, dass p ≠ 1 ist, dann konnte man durch (p-1) dividieren.

Wenn p = 1 ist, dann geht das nicht mehr, aber dann sehen auch die Gleichungen viel einfacher aus.

Aus

1.: px+y+z=0
2.: x +py+z=0
3.: x+y+pz=0

wird, wenn p = 1 ist:

1.: x+y+z=0
2.: x+y+z=0
3.: x+y+z=0

Es gibt also nur noch eine Bedingung:

x+y+z = 0

Kann man umformen zu

x = - y - z

Ebenso gilt

y = - x - z

und

z = - x - y

Wenn y den Wert Ц und z den Wert λ besitzt, dann ist

x = - Ц - λ

Somit

x = - Ц - λ
y = Ц
z = λ

Lässt sich wieder schreiben als

(- Ц - λ / Ц / λ)

Wenn p aber weder 1 noch -2 ist, dann gibt es keine Lösung, außer alle Werte von x, y und z sind gleich 0, somit

(0 / 0 / 0)


Gruß
Andromeda
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