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potenzen
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Gast







BeitragVerfasst am: 06 März 2005 - 20:47:37    Titel: potenzen

hi,

habe zwei aufgaben wo ich hänge:

1. zeige das (((17^42) + (2^12))^14) - 4 mit 13 teilbar ist

2. zeige das 5 teiler für (a^5) - a ist, für alle ganzzahlen a

hat irgendwer ne idee?

cya
Gast







BeitragVerfasst am: 07 März 2005 - 18:37:20    Titel:

hallo,

für die zweite aufgabe habe ich jetzt denke ich eine lösung via vollständige induktion.
aber bei der ersten habe ich absolut keine idee. hat denn keiner ne idee? ich komme da echt nicht weiter. gibt es nicht irgendwie generell nen weg wie man ermittel kann ob eine zahl teiler einer hohen potenz ist oder so?

wäre echt froh wenn mir jemand nen ansatz für 1. liefern könnte...

cya
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 März 2005 - 18:46:37    Titel:

Mein Ansatz war bisher:

(((17^42) + (2^12))^14) - 4

lässt sich umformen zu

(((17^42) + (2^12))^7) + 2) * (((17^42) + (2^12))^7) - 2)

Hieraus müsste man aber (2^7 + 2) als Faktor rausziehen können, denn (2^7 + 2) ist durch 13 teilbar.

Hänge aber fest und denke, dass das wohl in eine Sackgasse führt.

Gruß
Andromeda
R@W
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Anmeldungsdatum: 06.03.2005
Beiträge: 540
Wohnort: nur dort wo es i-net gibt

BeitragVerfasst am: 07 März 2005 - 23:44:30    Titel:

an der 2. hab ich mich auch schon per vollstänige induktion versucht aber habs nicht geschafft, also stell mal die lösung rein,
mir fehlt halt das letzt µ
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 März 2005 - 23:53:00    Titel:

2 geht einigermaßen

a^5 - a = a*(a4-1)

Wenn a durch 5 Teilbar ist, ist es klar, wenn a aber nicht durch 5 teilbar ist, dann endet a^4 entweder mit 1 oder mit 6.

Nicht besonders elegant, aber man braucht es nur für die letzte Ziffer von a, also für 1 bis 4 und für 6 bis 9 zeigen. Das lässt sich auch berechnen.

Für einen eleganteren Weg ist es mir jetzt zu spät.

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 08 März 2005 - 00:06:06    Titel:

Hallo,

also das ist was ich so dann noch selber hingekriegt habe nach einiger nachforschung per induktion:

5m=a^5-a, laß m eine natürlich zahl sein

also wenn das ganze für a gilt dann muß es auch für a+1 gelten:
(a+1)^5-(a+1) = ( a+1)^5-a-1
= a^5+5a^4+10a^3+10a^2+5a+1-a-1
= (a^5-a)+5(a^4+2a^3+2a^2+a)
= 5m+5(a^4+2a^3+2a^2+a) (vorauss. war:5m=a^5-a)
= 5[m+(a^4+2a^3+2a^2+a)]
somit hast du die 5 ausgeklammer und bewiesen das es durch 5 teilbar ist.
denke ich zumindest.

an der anderen aufgabe beiße ich mir immer noch die zähne aus. aber mal generell eine frage gibt es irgendwie einen algorithmus mit dem man ermitteln kann ob eine zahl b teiler von a^x ist (wobei x sehr groß ist)? also per hand ausrechnen kann oder geht das alles via potenz reglen?
cya
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