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Extremwert durch quadratische Ergänzung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Extremwert durch quadratische Ergänzung
 
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Anitram888
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Anmeldungsdatum: 16.01.2008
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 14:20:03    Titel: Extremwert durch quadratische Ergänzung

Hallo, ich bräucht eure Hilfe - komm gerade nicht weiter Embarassed

Gegeben ist ein Rechteck mit AB (a)= CD = 12 cm und BC (b)= AD = 8 cm. Man verkürzt die Seite AB um x cm und verlängert dafür die Seite AD um x cm. Die Fragestellung: Für welchen Wert von x erhält man einen extremen Flächeninhalt`?

Berechnung des Flächeninhalts in Abhängigkeit von x:
A(x)= (12 cm - xcm) * (8cm + xcm)
= 96 cm² + 12 xcm² - 8 xcm² + x²cm² =
= 96 cm² + 4 xcm² + x²cm² =
= (x² + 4x + 96) cm²

Berechnung des extremsten Flächeninhalts (durch quadratische Ergänzung):
A(x) = (x² + 4x + 96) cm² =
= (x² + 4 x + 2² - (2²) +96) cm² =
= ((x² + 4 x + 2²) -4 + 96) cm² =
= (x + 2)² + 92) cm²

Das stimmt aber nicht, weil dann müsste x=-2 sein, oder? Aber x darf ja nur folgende Werte annehmen: 0 < x < 12
Ich weiß nicht, was ich falsch gemacht habe.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Viele Grüße
Gruwe
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Anmeldungsdatum: 24.03.2004
Beiträge: 5286
Wohnort: Saarbrücken

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 14:26:34    Titel: Re: Extremwert durch quadratische Ergänzung

Anitram888 hat folgendes geschrieben:

Berechnung des Flächeninhalts in Abhängigkeit von x:
A(x)= (12 cm - xcm) * (8cm + xcm)
= 96 cm² + 12 xcm² - 8 xcm² + x²cm² =
= 96 cm² + 4 xcm² + x²cm² =
= (x² + 4x + 96) cm²


Ohne jetzt mal komplett nachgekuckt zu haben, vermute ich hier den Vorzeichenfehler!

Aus -xcm*+xcm wird - x²cm.
Der Term in der 2. Zeile muss also richtig heissen:

96 cm² + 12 xcm² - 8 xcm² - x²cm²

Probiers dann mal damit!
Anitram888
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Anmeldungsdatum: 16.01.2008
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 14:32:42    Titel:

Die verdammten Vorzeichen immer Wink
Vielen Dank für deine Hilfe!

Also dann lautet es folgendermaßen:
A(x) = ( - x² + 4x +96)

und dann beim extremen Flächeninhalt kommt raus:
= (-(x-2)²-100) cm²

Muss gleich mal nachprüfen, ob das stimmt.
Anitram888
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Anmeldungsdatum: 16.01.2008
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 14:45:16    Titel:

Das kann ja auch nicht sein, weil dann kommt ja immer ein negativer Wert raus und das kann ja nicht sein.

Also ich hab das so gemacht:
A(x) = (96 + 12 x) (8 + x)
= 96 + 12 x - 8 x - x²
= 96 + 4 x - x²
= -x² + 4 x + 96

Dann der extreme Flächeninhalt:
A (x) = -x² + 4 x + 96
= - (x² - 4x -96)
= - (x² - 4x +2² -4 -96)
= (-(x² -2)² -100) cm²

Aber dann ist das ja negativ.... Question
Ra.Be
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Anmeldungsdatum: 12.01.2008
Beiträge: 410
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 14:47:01    Titel:

Macht doch nichts. Als Fläche zählt letzendlich nur der Betrag des Wertes, welcher bei der Rechnung rauskommt.
Anitram888
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Anmeldungsdatum: 16.01.2008
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 14:52:56    Titel:

Aber der Flächeninhalt kann ja nicht negativ sein.

Der kleinste negative Wert ist dann tatsächlich bei x=2, A(x=2) = -100
Aber ist das dann der größt- oder kleinstmögliche Flächeninhalt?
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 14:57:23    Titel:

Ra.Be hat folgendes geschrieben:
Macht doch nichts. Als Fläche zählt letzendlich nur der Betrag des Wertes, welcher bei der Rechnung rauskommt.


Du verwechselst was. Es gibt kein schwarzen Löcher im Koordinatensystem.

A (x) = -x² + 4 x + 96
= - (x² - 4x -96)
= - (x² - 4x +2² -4 -96)
= - ((x² - 4x +4) -4 -96)
= - ((x² - 4x +4) +100)
= - ((x-2)² +100)


Der Scheitel befindet sich bei S(2/100)
Anitram888
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Anmeldungsdatum: 16.01.2008
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 15:03:33    Titel:

Zitat:
= - ((x² - 4x +4) -4 -96)
= - ((x² - 4x +4) +100)


Aber -4-96 ist ja -100.
Da müsste ich dann ausklammern, oder?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 15:05:51    Titel:

@TyrO: Du vergisst das Minus Wink

= - ((x² - 4x +4) -4 -96)
= -((x - 2)² - 100)
= -(x-2)² + 100
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 16 Jan 2008 - 15:05:51    Titel:

Sry, das Minus wollte ich in die Klammer reinmultiplizieren.

A (x) = -x² + 4 x + 96
= - (x² - 4x -96)
= - (x² - 4x +2² -4 -96)
= - ((x² - 4x +4) -4 -96)
= - ((x² - 4x +4) -100)
= - ((x-2)² -100)
= - (x-2)² +100

So stimmt's
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