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Bayes-Aufgabe
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Sven87
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 133

BeitragVerfasst am: 17 Jan 2008 - 12:15:30    Titel: Bayes-Aufgabe

Hi,
bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter.

Aufgabe:
Ein Schüler wirft sechsmal eine Münze und zählt, wie oft hiebei die "Zahl" erscheint. Ein anderer Schüler würfelt mit einem LAPLACE Würfel. Die Versuch ergebnisse sind bei beiden eine Zahl zwischen 1und 6 . Jeder führt sein Experiment dreimal durch und notiert seine Ergebnisse auf einem Zettel. Einer der Zettel wird zufällig gewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt der Zettel vom Münzwurf, wenn auf dem Zettel

a) 2-3-2
b)3-4-6
c)6-6-6 steht?

Die Wahrscheinlichkeit für Zahl ist 50%
Die Wahscheinlcihkeit für den LAPLACE Würfel leigt bei 1/6 für jede Zahl.

Die a posteriori Wahrscheinlichkeit einer Alternative ist ja folgendermaßen definiert: [Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Pfades] / [ totale Wahrscheinlichkeit des Indizes]

Muss ich jetzt wür jede Zahl die Wahrscheinlichkeit ausrechen?
Oder wie muss ich vorgehen?

Gruß Sven
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 17 Jan 2008 - 16:18:08    Titel:

Überleg mal folgende Frage:
Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, daß bei dem Münzwurf das Resultat 2-3-2 entsteht und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür bei dem Würfel?

Wenn die Wahrscheinlichkeit im ersten Fall z.B. 2% beträgt und im zweiten Fall 1%, kann man sagen, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Zettel von dem Münzwerfer stammt, doppelt so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er von dem Würfler ist.
Dann wäre P(Münze) also 66,7% und P(Würfel) = 33,3%.
Sven87
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 133

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2008 - 16:42:27    Titel:

Zitat:
Überleg mal folgende Frage:
Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, daß bei dem Münzwurf das Resultat 2-3-2 entsteht und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür bei dem Würfel?

Wenn die Wahrscheinlichkeit im ersten Fall z.B. 2% beträgt und im zweiten Fall 1%, kann man sagen, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Zettel von dem Münzwerfer stammt, doppelt so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er von dem Würfler ist.
Dann wäre P(Münze) also 66,7% und P(Würfel) = 33,3%.


Wahrscheinlichkeit zum Indiez: 2-3-2:
P(Würfel)= 0,5*(1/6)^3= 1/432
P(Münze)=(1/2)*(1/2)*(1/4)*(1/8)*(1/4)=1/512
Summe: 59/13824
a posteriori Wahrscheinlichkei:
Würfel: (1/432):(59/13824)= (27/59)=45,76%
Münze: (1/512):(59/13824)=(32/59) =54,23%

und so geht dann auch Aufgabenteil b und c
Sven87
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 133

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2008 - 17:37:00    Titel:

Zitat:
P(Münze)=(1/2)*(1/2)*(1/4)*(1/8)*(1/4)=1/512


Muss ich die Wahrscheinlichkeit, dass ich den Würfel nehme, mit einberechnen, also 50% ???
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2008 - 13:33:28    Titel:

Sven87 hat folgendes geschrieben:

Wahrscheinlichkeit zum Indiez: 2-3-2:
P(Würfel)= 0,5*(1/6)^3= 1/432
P(Münze)=(1/2)*(1/2)*(1/4)*(1/Cool*(1/4)=1/512


Münzwurf:
X bezeichne die Anzahl, mit der das Ergebnis "Zahl" unter sechs Würfen auftritt. Dann liegt X zwischen 0 und 6 und ist eine binomialverteilte Zufallsgröße. Es ergeben sich dann die Wahrscheinlichkeiten:

P(X = 2) = (6 über 2) * 0,5^6 = 15/64

und

P(X = 3) = (6 über 3) * 0,5^6 = 20/64 = 5/16.

Das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von

15/64 * 5/16 * 15/64 = 1125/65536 (ca. 1,72%)

für das Ereignis 2-3-2 bei der Münze.

Würfel:

Die Wahrscheinlichkeit mit dem Würfel das Ereignis 2-3-2 zu würfeln, beträgt (1/6)^3 = 1/216 (ca. 0,46%).
Übrigens gilt diese Wahrscheinlichkeit für alle anderen "dreistufigen" Ereignisse auch!

Die Summe diese beiden Wahrscheinlichkeiten gibt nun an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ergebnis 2-3-2 erzielt wird ohne Berücksichtigung der Frage, ob dies mit dem Würfel oder mit der Münze geschah.

Man sieht aber sofort, daß es wahrscheinlicher ist, mit der Münze 2-3-2 zu erhalten als mit dem Würfel.

Die Wahrscheinlichkeit, daß das Ergebnis 2-3-2 von der Münze stammt, liegt also bei

[1125/65536] / [1125/65536 + 1/216]

(ca. 78,76%)

und für den Würfel ergibt sich

[1/216] / [1125/65536 + 1/216]

(ca. 21,24%)
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