Aufgabe

Engelchen194 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.04.2005 Beiträge: 25

Hallo,

Folgende Aufgabe:

Ist die Gleichung 5x = 3 in Z10(Menge der ganzen Zahlen) lösbar? Begründen Sie ihre Antwort.

Bin mir nicht sicher, aber hat das was mit Modulo zu tun?

Danke!! Grüße

Annihilator · Verfasst am: 23 Jan 2008 - 22:49:55 Titel:

Ja, du sollst wohl Modulo-Rechnen. Du hast also:

5x mod 10 = 3

Du müsstest nun das inverse Element von 5 in Z[10] bestimmen. Weißt du, wie das geht ?

EDIT: Bevor du in die Falle tappst: Was sind Einheiten und was sind Nullteiler in Z[10] ? Welche Bedeutung haben diese ?

Engelchen194 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.04.2005 Beiträge: 25

nein, ich glaub nicht...
wie geht das??

danke für die schnelle antwort Smile

Annihilator · Verfasst am: 23 Jan 2008 - 22:58:58 Titel:

Ich werd mal konketer: Wenn x€Z gelten soll, dann schau mal, was passiert, wenn du Werte für x einsetzt und modulo 10 rechnest:

5*0 mod 10 = 0 mod 10 = 0
5*1 mod 10 = 5 mod 10 = 5
5*2 mod 10 = 10 mod 10 = 0
5*3 mod 10 = 15 mod 10 = 5
5*4 mod 10 = 20 mod 10 = 0

Fällt die da was auf ?

Engelchen194 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.04.2005 Beiträge: 25

ok, mir fällt auf, dass für gerade Zahlen ein "rest" bleibt und zwar von 5.
es ist also nicht möglich als ergebnis 3 rauszubekommen..
Zumindest nicht mit der Zahlenmenge der ganzen Zahlen.

Annihilator · Verfasst am: 23 Jan 2008 - 23:09:04 Titel:

Das ist soweit schon mal richtig. Sagt dir der Begriff des 'Nullteilers' etwas und weißt du, warum sie keine inversen Elemente haben ?

Engelchen194 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.04.2005 Beiträge: 25

uff.. das ganze ist mir nicht so wirklich klar, nein... Embarassed

ich steige noch nicht durch, wie ich da vorgehe.
könntest du es mir soweit möglich, erklären?!

Annihilator · Verfasst am: 23 Jan 2008 - 23:26:37 Titel:

Wenn es eine Zahl b ungleich Null gibt, sodass (a*b mod n = 0) gilt, so nennt man eine Zahl a ungleich Null einen Nullteiler in Z[n]. Nullteiler sind niemals teilerfremd zu n, was mit sich bringt, dass (ggT(a, n) > 1) ist. Nullteiler besitzen kein multiplikativ-inverses Element, man kann also nicht mit ihnen dividieren.

In deinem Beispiel:
Die Nullteiler in Z[10] sind 2 und 5. Das heißt, dass die Gleichung (5x mod 10 = 3) entweder keine oder unendlich viele Lösungen besitzt (man geht nur von ganzen Zahlen aus). Da die entstehende Rest 0 und 5 ungleich 3 sind, gibt es keine Lösung.

Engelchen194 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.04.2005 Beiträge: 25

vielen vielen dank!!

nullteiler bedeutet schlicht, dass es keinen "rest" gibt!? jetzt ist es mir klar!!
super.

Annihilator · Verfasst am: 23 Jan 2008 - 23:40:45 Titel:

Nein, das bedeutet Nullteiler nicht...
Einheiten in Z[n] sind quasi das Gegenteil von Nullteilern. Sie sind immer teilerfremd zu n. Ich mach mal zwei Beispiele, bei denen N die Menge der Nullteiler und E die Menge der Einheiten sein soll:

Z[12]:
N = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}
E = {1, 5, 7, 11}

Z[21]:
N = {0, 3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18}
E = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}

Engelchen194 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.04.2005 Beiträge: 25

*verzweifel*

ok, es ist sicher ganz leicht und ich sehe es einfach nur nicht..
ich muss mich wohl noch einmal einem intensiven Studium unterziehen...
Hat der Nullteiler in gewisser Weise etwas mit Restklassen zu tun??