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Stetigkeit / Differenzierbarkeit
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Jim Panse2
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Anmeldungsdatum: 08.04.2004
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 08 Apr 2004 - 17:53:23    Titel: Stetigkeit / Differenzierbarkeit

Was genau (bitte verständlich erklären, da ich nur eine unverständliche Definition vorliegen habe) ist Stetigkeit.

Ist eine Funktion wie (1 / (x-1) ) stetig?

Wenn die Bedingung für Differenzierbarkeit ist, dass eine Funktion stetig sein muss, müsste die obige Funktion doch stetig sein, weil man sie ableiten kann.

Vielen Dank im Voraus, wär superklasse wenn einer von euch die Fragen oder wenigstens eine oder 2 beantworten könnte
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 08 Apr 2004 - 19:33:11    Titel:

die mathematische Definition für Stetigkeit:
f heißt an der Stelle x0 Stetig, wenn lim x->x0 f(x) existiert und mit f(x0) übereinstimmt.

Heißt anschaulich gesprochen: Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn du dich dieser Stelle von links und rechts beliebig nähern kannst. sprich wenn der Grenzwert bei sowohl bei einer Näherung von rechts als auch von links dem Funktionswert an der Stelle entspricht.

Bei den allermeisten Funktionen kann man auch am Schaubild argumentieren: Die Funktion ist stetig, wenn man ihr Schaubild "in einem Zug zeichnen" kann, ohne den Stift absetzen zu müssen. Wenn also das Schaubild keinen Sprung aufweist.
Allerdings ist diese Definition mit vorsicht zu verwenden, da es gewisse ausnahmen gibt.

Ich hoffe, das war so in etwa das was du erwartet hast. Ansonsten frag einfach nochmal nach.
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Jul 2004 - 12:45:14    Titel:

übrigens ist obige funktion in R weder stetig noch differenzierbar.

betrachte einfach die stelle x=1 und du wirst feststellen dass dafür keine wert existiert!
Sverige
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Anmeldungsdatum: 14.11.2004
Beiträge: 4
Wohnort: Frankfurt

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 16:46:30    Titel:

Hallo,

hab auch eine Frage zur Stetigkeit:
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit im Punkt x0 = 1

[x²+x-2] / [x²-3x+2] für x < 1

Im Punkt x0 ist das Ding nicht stetig.
Das bedeutet doch, dass ich mich von links an den Limes der Fkt annähere. Aber das Grenzwertverhalten interessiert mich doch gar nicht *verwirrt*
aldebaran
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2004 - 17:46:06    Titel:

HI,
die Untersuchung der Stetigkeit einer Funktion ist zunächst streng genommen immer nur an einer bestimmten Stelle möglich.
Man muss dazu
[vergl. (Xaggi): "wenn der Grenzwert bei sowohl bei einer Näherung von rechts als auch von links dem Funktionswert an der Stelle entspricht"]

an der zu untersuchenden Stelle x=k
1) den Funktionswert f(k) berechnen können (ergibt Wert1)
2) den linksseitien Grenzwert der Funktion mit x->k und x<k berechnen können (ergibt Wert2) und
3) den rechtsseiten Grenzwert der Funktion mit x->k und x>k berechnen können (ergibt Wert3)

Sind alle drei Werte berechnet und identisch, dann ist f(x) an dieser Stelle x = k stetig

wenn wir dies für f(x) = 1/(1-x) machen wollen, dann gilt:
1) f(x=1) ist nicht definieret, weil wir durch 0 nicht teilen dürfen ==> Wert1 existiert nicht
2) lim f(x) mit x->1 und x<1 geht gegen -Unendlich ==> kein eigentlicher Wert (einfach durch Einsetzen von Zahlen knapp kleiner 1 mal nachrechnen)
3) lim f(x) mit x->1 und x>1 geht gegen +Unendlich ==> kein eigentlicher Wert (einfach durch Einsetzen von Zahlen knapp größer 1 mal nachrechnen)

Was also ist jetzt herausgekommen?
Wert1 : gibts nicht
Wert2 : -Unendlich
Wert3 : +Unendlich

d.h. alle drei verschieden, also hat f(x) an der Stelle x = 1 eine Unstetigkeitsstelle (hier: Polstelle mit Vorzeichenwechsel)

(Das Bilden eines Grenzwertes ist nicht immer ganz so einfach wie oben, man benutzt dazu häufig eine Nullfolge als Substitution für x)

Man muss in der Regel genau auf die Fragestellung zur Stetigkeitsuntersuchung achten, so z.B. sind die Fragen unterschiedlich:
Beispiele:
1) Ist f(x) an der Stelle x = 3 stetig ? (= konkrete Stelle, rechnen wie oben)
2) ist f(x) im Definitionsbereich stetig ? (= Rechnen wie oben, aber mit allgemeinem x und nicht an der Stelle x = 1, da dies nicht zum Def.Bereich gehört)
3) Ist f(x) über R stetig ? (= Rechnen wie oben, da x = 1 eine Lücke in f(x) ist.
4) Ist f(x) im Intervall I=[a,b] oder I=(a,b) stetig ? (= machen wir jetzt mal noch nicht)

@Sverige
hier gehts genauso:

meistens ist bei gebrochen rationalen Funktionen die Nullstelle des Nenners wichtig:
N = [x²-3x+2] ==> x_1 = +1 und x_2 = +2
an diesen beiden Stellen ist der Nenner = 0, damit ist dort auch eine Stetigkeitsuntersuchung wichtig, also ist dort die Untersuchung nach 1) 2) und 3) durchzuführen.
Ergebnis:
für x = +2 ergibt sich eine Polstelle = Unstetigkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel
für x = +1 ergibt sich keine Polstelle, die Funktion besitzt dort eine hebbare Lücke

Eine hebbare Lücke wiederum liegt z.B dann vor, wenn der linksseitige und der rechtsseite Grenzwert gleich sind, der Funktionswert selbst aber an genau dieser Stelle nicht definiert ist (z.B. wegen Nenner-Nullstelle)
(Dies entsteht beim Kürzen von Faktoren aus gebrochen-rationalen Funktionen)
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