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Extremwertaufgaben / e-Funktion
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dklicious
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Anmeldungsdatum: 29.03.2007
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 12:05:17    Titel: Extremwertaufgaben / e-Funktion

Hallo an alle.

Bin zur Zeit dabei, für's Mathematik Vorabitur zu lernen. (Grundkurs)
Dabei komme ich eigentlich gut voran, habe kaum Probleme mit den meisten Aufgaben.
Ist es okay, wenn ich hier ein paar Aufgaben rein stelle, die zum Thema passen
und die ich nicht hinbekomme? Eigene Ansätze habe ich (so gut wie) immer dazu
und den Titel des Threads würde ich dementsprechend editieren.

Hier sind mal zwei, wo ich einfach nicht weiterkomme.

1. Aufgabe

f(x) = (2x+4)e^-x
f'(x) = (e^-x)*(-2x-2)
n:y = 0,5x+4

Eine zur Geraden n parallel verlaufende Gerade g berührt den Graph von f
im Punkt B. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes B.


Mein Ansatz:
m = 0,5
m = f'(x), d.h.
0,5 = (e^-x)*(-2x-2)

(0,5)/(-2x-2) = (e^-x)
-x-1 = (e^-x)

Ich bekomme es nicht hin, die Gleichung nach x umzustellen, mit ln ist
die Gleichung nicht lösbar. Vielleicht setze ich das ja auch bloß falsch ein.

Aufgabe 2:

Ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c=6cm rotiert um eine
Kathete. Dadurch entsteht ein Kreiskegel. Ermitteln Sie die Länge der Katheten,
damit dieser Kreiskegel den größtmöglichen Rauminhalt besitzt.


Diese Aufgabe hatte ich eigentlich mal gelöst, nur waren meine Ergebnisse
der Katheten irgendwie nicht passend zu der Hypotenuse, d.h.
c war nicht gleich (a²+b²)^0,5.

Mein Ansatz:
Dreieck (im ersten Quadranten) hat Punkt P im Origo (0|0) und rotiert um die x-Achse.
Der rechte Winkel befindet sich ebenfalls im Origo.

Vk= 1/3*Pi*r²*h

Diesen Ansatz habe ich dann weiter verfolgt, für h und p x und f(x) eingesetzt.
Die Ergebnisse kann ich raussuchen und nachreichen.
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
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BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 12:56:55    Titel:

hatte eben alles feinsäuberlich eingetippt, bis ich dann, aufgrund längerer Rolling Eyes inaktivität automatisch ausgeloggt wurde Evil or Very Mad Evil or Very Mad scheissendreck, kann man das nicht umstellen oder so?

mfG

ps: vielleicht mach ich mir später nochmal die mühe
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 12:59:37    Titel:

Seiten zurück!
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 13:06:36    Titel:

TyrO hat folgendes geschrieben:
Seiten zurück!

ja, das dachte ich mir auch, aber als dann auch noch error 500 dazu kam war alles vorbei.. badabababa ich liebe es
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 13:19:56    Titel:

.
dein Ansatz ist richtig:
Zitat:
0,5 = (e^-x)*(-2x-2) Smile

-x-1 = (e^-x) Sad
die Umformung ist dir missraten..
Tipp:
multiplziere beide Seiten von 0,5 = (e^-x)*(-2x-2) ....mit 2*e^(+x)

die Gleichung die du dann erhältst ist (wie schon deine falsche da oben) nur numerisch lösbar
(schau ob x ≈ -1,0845..passen könnte?)


und was hast du denn bei der zweiten Aufgabe raus?
.
dklicious
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Anmeldungsdatum: 29.03.2007
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 17:25:14    Titel:

Bei der zweiten komme ich auf eine abgeleitete Zielfunktion von:

V'(x)= (5/108*Pi*x^4) - 2*Pi*x^2 + 12*Pi

Und als Ergebnisse erhalte ich bei grafischer Lösung:

x1 = -2,4783422069
x2 = 2,4783422069

Also
a = 2,4783422069
b = 6,491700863


Die Erklärung der ersten Aufgabe verstehe ich nicht ganz, sorry.
Kann ich denn nicht einfach durch (-2x-2) teilen?

Denn bei

0,5 = (e^-x)*(-2x-2)
0,5/(-2x-2) = (e^-x)
(-2x-2)/2 = (e^-x)
-x-1 = (e^-x)

(So bin ich da hingekommen).

Auf jeden Fall schonmal danke für eure Hilfe!
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 17:47:42    Titel:

f(x) =

V = Pi/3 * r² * h

r = f(x) = y

h = x
___________

I: V = Pi/3 * y² * x {Hauptbedingung}

II:6² = x² + y² {Nebenbedingung} --> y = sqrt(6² - x²)
-----------------------
V(x) = Pi/3 * (36 - x²) * x = Pi/3 * (-x³ + 36x) {Zielfunktion}

V'(x) = Pi * (-x² + 12)

Extrema:

V'(x) = 0

0 = Pi * (-x² + 12)

0 = -x² + 12

x² = 12

x_1 = sqrt(12) = 2sqrt(3)--> in II --> y

x_2 = -sqrt(12) --> kann als Lösung vernachlässigt werden, da nicht im 1ten Quadranten / negative Längen nicht definiert sind..
-------------------------
y:

6² = 12 + y² --> y = sqrt(24) = 2sqrt(6)

V_max = irgendwas mit 87 VE glaube ich.. bin zu faul es einzutippen Wink

mfG

edit: V_max = 87,062 VE
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 18:55:01    Titel:

.
dklicious :
Zitat:
Kann ich denn nicht einfach durch (-2x-2) teilen?

scheint so, dass du das wirklich nicht richtig kannst:
Zitat:

0,5/(-2x-2) = (e^-x)
(-2x-2)/2 = (e^-x)

schau mal, ob du kapierst, dass da wirklich irgendwie was nicht so stimmt? →

erste Zeile: 0,5/(-2x-2) ← laut vorgelesen: Ein Halb GETEILT durch (-2x-2) ⇔ (1/2) mal [1/(-2x-2)] ⇔ [1/(-2x-2)] mal (1/2)


zweite Zeile: (-2x-2)/2 ← laut vorgelesen: (-2x-2) GETEILT durch 2 ⇔ (-2x-2) mal (1/2)


Tipp:
falls du irgendwann mal durch richtiges Umformen
aus 0,5 = (e^-x)*(-2x-2) dann e^x = -4x-4 erhältst,
dann lohnt es sich, bei der Aufgabe weiterzumachen...


**********************

noch kurz zur zweiten Aufgabe: Frage war:
Zitat:

Ermitteln Sie die Länge der Katheten...
die richtige Antwort hat dir M45T4 schon vorbereitet:

-Antwort ist: die beiden Katheten haben die Längen 2*√ 3 bzw. 2*√ 6
Smile
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