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Integral
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Jaeggie
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Anmeldungsdatum: 26.01.2008
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 15:20:25    Titel: Integral

Hey Leute,

ich stehe vor 3 schwierigen Integralen:

1) Int (1/(x^4+x^3)) - die Lösung mit einem Programm ist:

Ln[x] - Ln[1 + x] - 1/(2*x^2) + x^(-1) +

das ganze lässt ja eine Partialbruchzerlegung in
A/x + B/(1+x) + C/x^2 + D/x^3 vermuten. Also:

Int ((1*x^3)/(x*(1+x)*(x^2)*(x^3)) nachdem mit x^3 erweitert wurde

Ich komm dabei aber auf keinen grünen Zweig, da ich immer daran scheitere, dass der abschließende Koeffizientenvergleich nicht möglich ist. Am Schluss kann ich dem Koeffizienten von x^3 aus dem Zähler nichts gegenüber stellen, da der Grad der anderen Variablen > 3


wie soll ich denn hier weitermachen?


2.) Int (x/sqrt(4*x^4 + 4))

ich komme hierbei weder mit dem Ln-Trick weiter, noch mit der partiellen.

ist vllt eine clevere Substitution möglich oder gibt es einen anderen trick mit der wurzel des nenners umzugehen.

Lösung: LN(sqrt(x^4 + 1) + x^2)/4


und schließlich ein so ähnliches Problem:
3.) Int (t/sqrt(2t^3+2)) hier ist mein problem wieder der richtige umgang mit der Wurzel

Lösung: hier scheint wohl auch das porgramm nicht weiter zu wissen

wär nett wenn Ihr mir hierbei helfen könntet
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 15:35:42    Titel:

1) Das schreit doch förmlich nach partieller Integration
f(x) = 1/x³ * 1/(x + 1)
[nur eine Vermutung]

2) f(x) = 1/2 * x/sqrt(x^4+1)
Versuchs mit der Substitution x = sqrt(sinh(z))

3) Kannste vergessen -> http://de.wikipedia.org/wiki/Binomisches_Integral

f(x) = x * (x³+1)^(-1/2)

m = 1
n = 3
p = -1/2

p = -1/2
(m + 1)/n = 2/3
(m + 1)/n + p = 1/6

Keine der Zahlen ist Ganz -> nicht elementar integrierbar.
Jaeggie
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Anmeldungsdatum: 26.01.2008
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 18:21:46    Titel:

Also die 1.) habe ich jetzt gelöst. Es geht recht einfach über die PArtialbruchzerlegung und dann anschließend über integration jedes einzelnen bruches.

(hatte da vorhin einen Fehler drin)


bei der 2. bin ich immer noch am knabbern


und auf den Satz von Tschebyscheff für die Aufgabe 3 wär ich nier gekommen. Danke für die Tipps.


ich habe jetzt allerdings noch ein neues integral, wo die integrationstools wieder scheitern:

Int(1/(t-1)^2 * ((t+1)/(t-1))^(1/3)dt)

Bitte um Hilfe
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 18:37:54    Titel:

Wie lautet denn die Ableitung von (x+1)/(x-1)?



2) Wo steckst du denn fest? Hast du bereits substituiert?
Jaeggie
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Anmeldungsdatum: 26.01.2008
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 19:23:04    Titel:

die ableitung ist dann wohl:

-2 / (x-1)^2 und somit die lösung auch klar, aber wie hast du das denn gesehen... einfach nurn auge dafür oder gibts da en speziellen trick oder hinweis




2.) Ich habe zunächst:

Int (t/sqrt(4*t^4+4)) --> 1/4 Int (2t/(sqrt(t^4+1)))

dann substituiere ich s=t^2 und damit ds = 2t dt

==> 1/4 Int (1/sqrt(s^2 + 1)
das is jetz schon ma besser...

ab hier wird was falsch:
nun wollte ich substituieren: s = sin r <=> r = arcsin s

1/4 Int (cos(r)/sqrt((sinr)^2 + 1) => 1/4 Int (cos(r)/sqrt(1 - (cosr)^2 + 1)
...


aber ich glaube ich habe falsch substituiert, weil die integrationstools zeigen mir einen anderen weg und vor allem eine andere Lösung an



danke schon ma für deine hilfe
Jaeggie
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Anmeldungsdatum: 26.01.2008
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 21:07:18    Titel:

so alles klar... ich habe alles gelöst...

bei der letzten aufgabe war es richtig zu substituieren.

zuerst muss man s=t^2 und damit ds = 2t dt substituieren.

im 2. Durchlauf muss man dann s = sinh(z) setzten (ganz wie calculus es vorhin vermutet hat) und es gilt:
ds = cosh(z) dz

man kommt so auf die form: 1/4 * Int(cosh(z)/sqrt(sinh(z)^2+1)) nun muss man nur noch wissen, dass 1 = cosh(z)^2 - sinh(z)^2 ist und schon löst sich alles wunderschön auf zu Int(1)dz, was dann z ergibt.


jetzt substituiert man noch zurück und schon kommt man auf
1/4 * arsinh (sqrt(t)) Laughing


das kann man jetzt noch umformen, wenn man will ... und ist fertig



danke calculus für deine guten ideen Very Happy
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2008 - 23:02:57    Titel:

Ehrlichgesagt hätte ich selber niemals gesehen, dass das die Ableitung ist Mr. Green -> http://integrals.wolfram.com/index.jsp


Und deine Rücksubstitution ist nicht richtig, am Ende muss 1/4 * arcsinh(t²) rauskommen, da du 1/4 * arcsin(s) ds = 1/4 * arcsin(t²) dt hast Wink
Jaeggie
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Anmeldungsdatum: 26.01.2008
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2008 - 01:10:05    Titel:

ja, mist du hast Recht!

da hab ich mich zu früh gefreut... war wohl auf einmal so voller freude, dass sich alles so schön auflöst...


naja, auf jeden Fall vielen dank für deine Hilfe Very Happy
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