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Zahlentheorie - Teilbarkeit eines Polynoms
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2008 - 13:03:36    Titel: Zahlentheorie - Teilbarkeit eines Polynoms

Hi,

ich habe die folgende Aufgabe aus einem Mathebuch (inkl. Lösung), kann sie aber nicht ganz nachvollziehen:

Frage: Für welche ganzzahligen x ist f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 durch 5 teilbar?

Lösung: Betrachte f(x)*(x-1) = x^5 - 1. Man setzt dann die Zahlen 0,...,4 für x ein und betrachtet den Rest modulo 5:

x = 0 --> f(x) = -1 = 4 mod 5
x = 1 --> f(x) = 0 mod 5
x = 2 --> f(x) = 31 = 1 mod 5
x = 3 --> f(x) = 242 = 2 mod 5
x = 4 --> f(x) = 1024 = 4 mod 5

Also ist x^5 - 1 nur für x = 1 mod 5 durch 5 teilbar.

Jetzt meine Frage: Warum darf ich f(x) einfach mit (x-1) multiplizieren und die Teilbarkeit von x^5 - 1 prüfen? Folgt daraus, dass 5 den Term x^5 - 1 teilt, schon, dass 5 auch f(x) teilt? Wenn ja, warum?

Danke für eure Anregungen!
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2008 - 13:15:48    Titel:

Ah, ich glaub, ich habs selber rausgefunden...
Ich habe die Vermutung, dass für x = 1 mod 5 immer ggT(x,(x-1)) = 1 ist.

Zumindest ist ggT(1,0) = 1, ggT(6,5) = 1, ggT(11,10) = 1 usw.

Wenn ja, würde das ja bedeuten, dass alle x, die das Produkt f(x)*(x-1) teilen und zum Faktor (x-1) teilerfremd sind, automatisch f(x) teilen müssen. Richtig so?
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