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Reihe, Quotientenkriterium, Aufgabe
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Seria
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Anmeldungsdatum: 05.03.2007
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2008 - 14:58:39    Titel: Reihe, Quotientenkriterium, Aufgabe

Hallo erst mal, bin hier gerade eine Klausuraufgabe am durch rechnen und wollte wissen, ob das so stimmt, wie ich es bisher gemacht habe.

So, dann mal zur Aufgaben stellung:

Untersuchen Sie die Reihe 4/pi² + 8/pi^3 + 16/pi^4+ ... mittels des Quotientenkriteriums auf Konvergenz und berechnen Sie anschließend ihren Grenzwert.

Loesung:

Zuerst hab ich mir die Summe aus der Reihe gebildet.

2^n
-------- = S
pi^n

Danach habe ich das Quotientenkriteriums auf meine Summe angewand und komme somit auf folgende form (Doppelbruch hab ich schon weg gemacht).

(2^n+1) pi^n
-----------------
(pi^n+1) 2^n

Danach habe ich die Potenzen aus einander gezogen, damit ich sie kürzen konnte.

2^n*2^1*pi^n
------------------ =
pi^n*pi^1*2^n

2
--- = an
pi

Da an < 1 => konvergenz.

Bis hierher sollte es richtig sein, aber nun weiß ich nicht mehr weiter bzw. stehe auf dem Schlauch. Wie rechne ich nun meinen Grenzwert aus, bzw. ist 2/pi schon mein Grenzwert?

Schonmal danke im vorraus Smile

Sanne


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Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2008 - 15:03:08    Titel:

Soweit richtig.


Zum Grenzwert: Die Glieder lauten (2/pi)^n, erinnert dich das nicht an eine andere Reihe? Wink
Seria
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Anmeldungsdatum: 05.03.2007
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2008 - 15:40:19    Titel:

Erst mal danke für die prompte antwort.

Also, wenn mich nichts alles täuscht könnte (2/pi)^n mit der Geometrischen Reihe zusammen hängen. Aber was ich nicht so recht verstehe ist, wie Sie auf das hoch n kommen.
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2008 - 15:41:55    Titel:

2^n / pi^n = (2/pi)^n

Zumindest haben die ersten Glieder diese Form.


Jetzt musst du noch in die allgemeine Formel für die geometrische Reihe einsetzen.


Wichtig: Grenzen beachten!
Seria
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Anmeldungsdatum: 05.03.2007
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2008 - 15:45:10    Titel:

Achso, vielen dank Smile das werd ich dann gleich versuchen und später mein Ergebnis dazu posten, damit ich auch weiß, dass ich kein Bockmist gebaut habe.
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