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Erklärung des Substitutionsverfahren am einfachen Beispiel
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Erklärung des Substitutionsverfahren am einfachen Beispiel
 
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michael 1986
Gast






BeitragVerfasst am: 09 März 2005 - 20:25:56    Titel: Erklärung des Substitutionsverfahren am einfachen Beispiel

Hallo,
ich bin in der 12. Kasse im Mathe LK und wir hatten letztens die Substitutionsregel.
Ich habe dieses Verfahren jedoch nicht ganz verstanden. Kann mir jemand es an einem einfachen Beispiel erklären?

Z.B. f(x)=(4*x-3)^2 im Intervall [0;2]

Als Lösung gibt der Computer A=12,666 an ich komm aber einfach nicht auf die Lösung.

Bitte macht die Aufgabe sehr ausführlich, mit dem Substitutionsverfahren, dass man u und u' bestimmen muss und man neue Intervallgrenzen bilden muss, damit ich es auch für andere Aufgaben machen kann.

Kann mir einer dabei helfen, ist wirklich wichtig.
Danke
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 09 März 2005 - 20:49:47    Titel:

f(x)=(4*x-3)²

Mögliche Substitution: y=(4*x-3)²

dy/dx=8*(4x-3) => dx = dy/(8*(4x-3))=( 1/8 ) * 1/√ydy

∫(4*x-3)²dx=( 1/8 )*∫y/√y dy =( 1/8 )*∫√y dy = ( 1/8 )*(2/3)* √y³ =

= (1/12) * √y³

nach Resubstitution:

∫(4*x-3)²dx = (1/12)* (4*x-3)³

Gruß
Andromeda
michael 1986
Gast






BeitragVerfasst am: 09 März 2005 - 20:56:35    Titel: grenzen

welche Intervallgrenzen muss ich nehmen?
Die aus der Aufgabe vorgegebenen oder neu erechnete?
Kassandra
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Anmeldungsdatum: 07.03.2005
Beiträge: 13
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 09 März 2005 - 20:56:42    Titel:

Also, bei der Funktion bennenst du den Inhalt der Klammer mit u damit du es nachher beim aufleiten leichter hast (weil da nicht mehr soviel dasteht).

Also u = 4x - 3.
Jetzt bildest du die Ableitung von u: u' = 4 = du/dx => dx = 1/4 du.

Der Integral lautet jetzt also:
Integral von f(u) * 1/4 du.
Das 1/4 kannst du vor das Integralzeichen setzen, da es ja eine Konstante ist und beim aufleiten damit nichts passiert.

Um die neues Grenzen des Integrals zu bekommen, musst du die alten Granzen einfach in u einsetzen.
Also u(0) = 4*0 - 3 = -3
und u(2) = 4*2 - 3 = 5.

Wäre jetzt z.B u = x² + 4 wären die neuen Grenzen 4 und 8
(da u(0) = 4 und u(2) = Cool

Jetzt musst du also nur noch die Stammfunktion von f(u) = u² bilden.
Das ist ja F(u) = 1/3 u³ im Intervall von -3 bis 5.

Jetzt kannst du das Integral einfach mit dem u ausrechnen, also
A = 1/4 * ( [(1/3 u³)] im Intervall [-3,5] ),

oder du setzt für das u wieder den ursprünglichen Term ein. Dann musst du aber auch wieder die alten Intervallgranzen [0;2] nehmen.
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 09 März 2005 - 21:02:14    Titel:

Kassandra hat folgendes geschrieben:


Also u = 4x - 3.
Jetzt bildest du die Ableitung von u: u' = 4 = du/dx => dx = 1/4 du.



Die richtige Lösung steht schon oben. Wo hast Du denn das Quadrat gelassen?

@michael 1986

Nach der Resubstitution kannst du die ursprünglichen Grenzen ohne Umrechnung einsetzen.

Gruß
Andromeda
Kassandra
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Anmeldungsdatum: 07.03.2005
Beiträge: 13
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 09 März 2005 - 21:16:15    Titel:

@ Andromeda

Sorry, du warst mal wieder schneller. Smile
Und das Quadrat hab ich nicht mit reingenommen.
Die Lösung stimmt doch trotzdem.
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 09 März 2005 - 21:18:44    Titel:

Kassandra hat folgendes geschrieben:
.
Die Lösung stimmt doch trotzdem.


Hast ja Recht.

Gruß
Andromeda
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