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Wie heißt das Verfahren zur bestimmung der Funktion?
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cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2008 - 11:45:37    Titel: Wie heißt das Verfahren zur bestimmung der Funktion?

Ich bin auf einem ITG. Eine funktion n-ter Ordnung haben wir bisher immer bestimmt, indem wir in der Regel n+1 Bedingungen aufgestellt haben und diese nacheinander in die Ausgangsfunktion y=ax^(n)+bx^(n-1)+cx^(n-2)... eingesetzt haben.

Jetzt habe ich in einem Übungsbuch gesehen, dass man viel schneller zum Ziel kommt (bald steht ja Abi vor der Tür), wenn man so vorgeht:

Aus einer Wertetabelle ist zu sehen, dass bei x=0 eine dreifache Nullstelle vorliegt. Bei x=2 liegt eine einfache Nullstelle vor. Gesucht wurde eine Polynomfunktion 4. Ordnung. Gelöst wurde das so:
y=x^(3)*(x-2)*a
a wurde dann durch Punktprobe mit einem beliebigen Punkt aus der Wertetabelle bestimmt.

Ich würde gerne mehr über diese Vorgehensweise wissen, da sie um einiges schneller und einfacher ist, als das, was ich bisher kenne. Gibt es dafür eine Bezeichnung?

Wenn eine Polynomfunktion 5. Ordnung gesucht ist und ich weiß, dass sie bei x=0 eine zweifache Nullstelle und bei x=3 eine einfache Nullstelle hat, aber der x-Wert der restlichen Nullstellen unbekannt ist oder es gar keine gibt, kann ich das Verfahren trotzdem anwenden? Wie müsste der Ansatz dann aussehen?
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2008 - 12:15:03    Titel:

Sei p(x) ein reelles Polynom vom Grad n.

Kennt man dann eine Nullstelle x_0 des Polynoms, dann kann man den zugehörigen Linearfaktor (x - x_0) aus dem Polynom abspalten, d.h. es existiert ein Polynom r(x) mit

p(x) = (x - x_0)*r(x).

Ist x_0 doppelte Nullstelle von p(x), dann ist x_0 ebenfalls Nullstelle von r(x), d.h. man kann auch r(x) in der oben beschriebenen Weise zerlegen usw.

Legt man als Grundkörper die komplexen Zahlen anstatt der reellen Zahlen zugrunde, ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Algebra sogar, daß jedes Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Nützliche Links zum Thema:
http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorisierung_von_Polynomen
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2008 - 12:24:02    Titel:

Danke! Das beduetet, dass jede Polynomfunktion eigentlich ein Produkt aus bestimmten Linearfunktionen mit (selbstverständlich) je einer Nullstelle ist? Und falls eine Polynomfunktion n-ter Ordnung weniger als n Nullstellen hat, wurde das Produkt einfach entlang der y-Achse verschoben?
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2008 - 12:35:22    Titel:

Nein, so eher nicht. Die vollständige Faktorisierung ist nur über den komplexen Zahlen möglich, d.h. die Anzahl reeller Nullstellen eines Polynoms kann durchaus kleiner sein als der Grad des Polynoms.

Für Deine Frage ist aber entscheidend:

Jede Nullstelle, die Dir bekannt ist, ergibt einen Linearfaktor in dem gesuchten Polynom; dabei tauchen die Linearfaktoren mehrfacher Nullstellen in der der Vielfachheit entsprechenden Potenz auf.

Kennst Du nun von einem Polynom 5. Grades bereits eine doppelte Nullstelle und eine einfache Nullstelle, dann muß das Restpolynom den Grad 2 haben, also

p(x) = (x - x_0)^2 * (x - x_1) * (a*x^2 + b*x + c)
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2008 - 13:57:27    Titel:

Ah, jetzt verstehe ich es. Danke schön!
theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
Beiträge: 1061
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2008 - 14:26:10    Titel: Re: Wie heißt das Verfahren zur bestimmung der Funktion?

cipoint hat folgendes geschrieben:
Aus einer Wertetabelle ist zu sehen, dass bei x=0 eine dreifache Nullstelle vorliegt. Bei x=2 liegt eine einfache Nullstelle vor.


Wie kann man aus einer Wertetabelle ablesen, welche Nullstelle vorliegt?

mfg & LG
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2008 - 14:39:58    Titel:

In der ersten Zeile ist der x-Wert, in den restlichen drei Zeilen darunter jeweils der dazugehörige y-Wert von f, f', f''. Sind alle drei Funktionswerte in einer Spalte Null, liegt eine dreifache Nullstelle vor.
theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
Beiträge: 1061
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2008 - 14:44:13    Titel:

achso, wusste nicht, dass du auch die Ableitungen zur Verfügung hattest.

mfg & LG
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