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Kompaktheit in unendlichdimensionalen Räumen
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Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
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BeitragVerfasst am: 10 März 2005 - 19:12:10    Titel: Kompaktheit in unendlichdimensionalen Räumen

So, wieder mal ein Punkt, über den ich beim Lernen für die FunkAna-Prüfung stolpere:

Warum ist die Einheitskugel eines unendlichdimensionalen Banachraumes nicht kompakt?

In jedem metrischen Raum sind doch die kompakten Mengen gerade die beschränkten und abgeschlossenen Mengen-und die Einheitskugel ist natürlich beschränkt (klar) und abgeschlossen (oder etwa nicht? Confused ), also müsste sie doch kompakt sein. Wo liegt der Fehler in der Überlegung? Ist die Aussage "beschränkt + abgeschlossen = kompakt" etwa in unendlich vielen Dimensionen falsch? In den Büchern finde ich da keine klare Aussage darüber, weil meist nur gezeigt wird, dass in endlich vielen Dimensionen obige Aussage gilt, aber über unendlich viele Dimensionen wird nix gesagt.
Gast







BeitragVerfasst am: 10 März 2005 - 19:18:22    Titel:

Die Äquivalenz "kompakt = abgeschlossen und beschränkt" gilt nur im R^n, also nicht zwingend in Banachräumen. Allgemein mußt Du Kompaktheit dahingehen untersuchen, ob es von einer Familie von offenen Mengen (die den Raum überdecken) eine endliche Teilüberdeckung von offenen Mengen gibt. Nur, wenn das erfüllt ist, ist der Raum kompakt.
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
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BeitragVerfasst am: 11 März 2005 - 18:52:43    Titel:

Also gilt das wirklich nur in endlichdimensionalen Räumen, dachte ich mir fast... Danke schön! Smile
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 11 März 2005 - 21:06:13    Titel:

Nimmt das hier nicht ernst, nur Anmerkungen, falls die Prüfung mündlich sein soll. Da kann man sich schön reinreiten mit Aussagen, wie oben.

Zitat:

Die Äquivalenz "kompakt = abgeschlossen und beschränkt" gilt nur im R^n,


Die Behauptung ist falsch. Es gibt auch andere Räume, in denen "kompakt = abgeschlossen und beschränkt" gilt. Für dieses Beispiel wäre natürlich ein unendlichdimensionaler Produktraum interessant. Wenn einer einen haben möchte kramme ich mal Querenburg raus und baue einen zusammen. Liegt doch ein wenig fern, die Prüfung.

Zitat:

Allgemein mußt Du Kompaktheit dahingehen untersuchen, ob es von einer Familie von offenen Mengen (die den Raum überdecken) eine endliche Teilüberdeckung von offenen Mengen gibt. Nur, wenn das erfüllt ist, ist der Raum kompakt.


Ich hoffe, es liegt an dem in der Literatur üblichen Kampf: Kompakt gegen Quasikompakt. Nach der gebräuchlicheren Bezeichnung, also Quasikompakt + T_2, ist das zweite "nur" auch falsch. Am sonsten ist jeder Banach-Raum ein T_2 Raum, denn die trennenden Umgebungen ergeben sich aus Kugeln mit 1/2 Entfernung.
Physikus
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BeitragVerfasst am: 12 März 2005 - 21:17:26    Titel:

@algebrafreak: Das hab ich jetzt nicht wirklich verstanden-aber da wir solche topologischen Sachen in der Vorlesung eh nicht behandelt haben, brauche ich das nicht wissen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 12 März 2005 - 22:52:22    Titel:

Dachte ich mir schon. Ich bin immer ein wenig skeptisch, wenn man auf einem "hohem Abstraktionsniveau" bedenkliche Aussagen, wie oben von sich gibt. Das machen aber viele, inklusive Profs.

Zitat:
Also gilt das wirklich nur in endlichdimensionalen Räumen, dachte ich mir fast... Danke schön!


Nach meiner Intuition, wobei diese falsch sein kann, stimmt da was gewaltig nicht. Leider vertreibt Quantorenelimination und jede Menge Alkohol die Topologie aus meinem Gehirn, aber ich werfe mal was raus, wobei ich mich ausdrücklich entschuldige, falls das Mist ist.

Unendlichdiemensionaler Banachraum ist ja ein Produktraum aus jeder Menge von Faktorräumen, die auch Banachräume sind. Nach tychonoff und co. verträgt sich Kompaktheit mit der Produktbildung (auch unendliche Produkte) und zwar in beide Richtungen. D.h. wenn die 1-Kugel nicht kompakt ist, so ist mindestens eine Faktorkomponente nicht kompakt!

Lange Rede kurzer Sinn: es sollte auch für endliche Banachräume nicht klappen. Umgekehrt sollte alles für R^n gut sein, denn man kann eine offene Überdeckung der (Ur-) Bilder der stetigen Projektionen betrachten und diese haben aufgrund Kompaktheit endliche Teilüberdeckungen usw.

Noch was:

Ich bin nicht so bewandt in Banachräumen, aber ({0,1}^N, ||) mit Supremumsnorm ist doch ein Banachraum. Jede Cauchy-Folge darin ist doch schliesslich konstant und wieder drin. Der Raum ist kompakt und die 1-Kugel ist entweder (0,...), wenn man < zur Definition benutzt oder der Raum selbst, also in beiden Fällen kompakt.

Nichts desto trotz, viel Spaß bei der Prüfung.

P.S. Ich hoffe ich blamiere micht da nicht gerade... Smile Das macht aber wegen des "Disclaimers" oben nichts
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
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BeitragVerfasst am: 13 März 2005 - 13:28:17    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Unendlichdiemensionaler Banachraum ist ja ein Produktraum aus jeder Menge von Faktorräumen, die auch Banachräume sind. Nach tychonoff und co. verträgt sich Kompaktheit mit der Produktbildung (auch unendliche Produkte) und zwar in beide Richtungen. D.h. wenn die 1-Kugel nicht kompakt ist, so ist mindestens eine Faktorkomponente nicht kompakt!

Hm, OK, Satz von Tychonoff sagt mir was... Aber ich kenne nur die Richtung, dass wenn die einzelnen Faktoren kompakt sind, dann auch das Produkt. Gilt also auch umgekehrt, dass wenn das Produkt kompakt ist, dass dann auch alle Faktoren kompakt sein müssen? Confused
Der einfachste unendlichdimensionale Banachraum auf den ich komme ist C(I) mit einem kompakten Intervall I, versehen mit der Supremumsnorm. Wie stelle ich den z.B. als topologisches Produkt dar? Bei allen Abbildungen von I nach R, also der Menge F(I,R) ist das klar, man muss nur R^I bilden. Aber bei den stetigen Funktionen? Confused

Zitat:
es sollte auch für endliche Banachräume nicht klappen. Umgekehrt sollte alles für R^n gut sein, denn man kann eine offene Überdeckung der (Ur-) Bilder der stetigen Projektionen betrachten und diese haben aufgrund Kompaktheit endliche Teilüberdeckungen usw.

Im R^n geht es auf jeden Fall, da ist kompakt = beschränkt und abgeschlossen. Satz von Heine-Borel heißt das glaube ich. Außerdem ist doch jeder endlichdimensionale Raum isomorph zu R^n (oder C^n), oder nicht? Dann müsste es auch für alle endlichdimensionalen gelten.

Zitat:
Ich bin nicht so bewandt in Banachräumen, aber ({0,1}^N, ||) mit Supremumsnorm ist doch ein Banachraum. Jede Cauchy-Folge darin ist doch schliesslich konstant und wieder drin. Der Raum ist kompakt und die 1-Kugel ist entweder (0,...), wenn man < zur Definition benutzt oder der Raum selbst, also in beiden Fällen kompakt.

Irgendwie weiß ich gar nicht, was das für ein Raum sein soll... Folgen, die nur aus 0 und 1 bestehen, ist das so gemeint? Das wäre dann ein Unterraum von l_unendlich. Obwohl nee, ist kein Unterraum, denn die Summe zweier Folgen ist nicht unbedingt so eine Folge-es dürfte nie eine 1 auf eine 1 in einer festen Komponente treffen. Von daher verstehe ich schon mal nicht, warum es ein Banachraum ist... Und warum ist jede Cauchyfolge darin konstant? Confused

Zitat:
Nichts desto trotz, viel Spaß bei der Prüfung.

Spaß, ja sicher... Rolling Eyes Macht sehr viel Spaß, wenn die Prüfung nächsten Donnerstag ist und ich mir noch drei Kapitel einverleiben muss...

Zitat:
P.S. Ich hoffe ich blamiere micht da nicht gerade... Smile Das macht aber wegen des "Disclaimers" oben nichts

*g* Das mach ich demnächst auch-einfach was behaupten und oben hinschreiben, dass es vielleicht Blödsinn ist-dann bin ich immer aus dem Schneider. Mr. Green
Gast







BeitragVerfasst am: 13 März 2005 - 15:27:14    Titel:

Zitat:
Gilt also auch umgekehrt, dass wenn das Produkt kompakt ist, dass dann auch alle Faktoren kompakt sein müssen?


Jo. Das auf jeden Fall. Die Beweise dazu würde ich, glaube ich, aus dem Stand bringen können. Es sind 4 Sachen zu zeigen: Faktorraum quasikompakt <=> Produktraum kompakt Faktorraum hausdorffsch <=> Produktraum hausdorffsch. Eine der Richtungen (1 =>) ist Tychonoff. Der Rest ist relativ trivial. Das gilt auch für Produkträume mit unendlicher Indexmenge. Z.B. für {0,1}^N mit diskreter Topologie.

Zitat:
Der einfachste unendlichdimensionale Banachraum auf den ich komme ist C(I) mit einem kompakten Intervall I, versehen mit der Supremumsnorm. Wie stelle ich den z.B. als topologisches Produkt dar?


Ich meine, es geht genau so. Nimm als Faktorräume R. Der Raum ist ein Produktraum R^I. Als Topologie nimm die Finaltopologie bezüglich der Projektionen. Also die feinste Topologie, die die Projektionen auf die Komponenten stetig macht. In R^I ist ja eine stetige Funktion eine Familie {f(i)}_{i in I}. Eine offene Kugel ist eine Funktionenmenge im "Schlauch" um das Zentrum. Die Einheitskugel ist dann ein Schlauch um die 0-Familie. Jetzt ist nur die Frage, ob die Faktorräume Banachräume sind. Vektorräume müssen sie sein, denn Additivität und Homogenität ergibt sich aus entsprechender Projektionsabbildungen. Das Problem ist die Norm, aber da geht, glaube ich, alles gut, wegen der Supremumseigenschaften.

Zitat:
Im R^n geht es auf jeden Fall, da ist kompakt = beschränkt und abgeschlossen. Satz von Heine-Borel heißt das glaube ich. Außerdem ist doch jeder endlichdimensionale Raum isomorph zu R^n (oder C^n), oder nicht?


Bei R^n und C^n geht sicher alles gut. Das zweite stimmt auf keinen Fall. Es scheitert schon aufgrund der Begriffe "Raum" und "Isomorphie". Normal versteht man unter "Raum" eine Struktur (also Instanz) in einer Modellklasse von Axiomen (sowas wie Körper). Z.B. der Körper R. Und Isomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung. Dafür müssen speziell auch die "Operationen" übereinstimmen in ihrer Anzahl z.B. und Beschaffenheit (z.B. Stelligkeit). Und das geht natürlich schief. Aber auch wenn man Strukturenattribute usw. gleichsetzt scheitert es meistens an der Kardinalität. Z.B. R und die Potenzmenge von R sind nicht gleich groß.

Zitat:
Von daher verstehe ich schon mal nicht, warum es ein Banachraum ist... Und warum ist jede Cauchyfolge darin konstant?


Du hast soweit alles richtig verstanden. Du kannst ja auf der Menge aller Binärfolgen die zyklische Abbildung mit (...,1,...) + (...,1,...) = (...,0,....) und 1 * (...,1,...) = (...,1,...) definieren. Damit wird das ganze zu einem unendlichdimensionalen Vektorraum über {0,1}, denn 0 ist das additiv neutrale, das "not" ist das additiv inverse Assoziativität vererbt sich von den komponenten und Abgeschlossenheit ist trivial. (a+b)x = ax + bx und a(x+y) = ax + ay gilt trivialerweise wegen der Komponenten (a,b in {0,1}, x,y in {0,1}^N). Analog (ab)x = a(bx). 1x = x ist auch trivial. Mit der Supremumsnorm ist dann eine Cauchy-Folge eine Folge von {0,1}^N -Elementen, bei der ab ab einem bestimmten Glied der Supremumsabstand der Elemente kleiner epsilon ist. Mit epsilon = 1/2 hast du einen 0 Abstand ab einem n. Somit ist der Mist vollständig und somit ein Banachraum.

Ich hoffe ich halte Dich nicht mit diesem Mist von der Lernarbeit. Ich habe meine Topologieprüfung von 1 Jahr gehabt und die Vorlesung vor 3 Jahren. Leider ist, wie man sieht, außer Grundlagen, nicht mehr viel geblieben. Aber wenn ich weiterhelfen kann, kannst Du gerne meine Unwissenheit ausloten Smile

P.S. Übrigens Du hattest verdammt Recht. Eine Diplomarbeit ist ein Full-Time-Job. Ich habe nur noch Quantoren im Kopf... Und muss in 6 Wochen abgeben.
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 13 März 2005 - 18:30:05    Titel:

Ich war der, der das oben verbrochen hat.

Zitat:
das "not" ist das additiv inverse


Natürlich das Element selbst ist additiv-invers zu sich. Ich hoffe das ist der einzige Fehler oben. Und die Hoffnung stirbt zurletzt Sad
Physikus
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BeitragVerfasst am: 14 März 2005 - 18:32:34    Titel:

Anonymous hat folgendes geschrieben:
Nimm als Faktorräume R. Der Raum ist ein Produktraum R^I. Als Topologie nimm die Finaltopologie bezüglich der Projektionen. Also die feinste Topologie, die die Projektionen auf die Komponenten stetig macht.

Finaltopologie hatten wir nicht und sagt mir auch nix. Wink

Zitat:
Das zweite stimmt auf keinen Fall. Es scheitert schon aufgrund der Begriffe "Raum" und "Isomorphie". Normal versteht man unter "Raum" eine Struktur (also Instanz) in einer Modellklasse von Axiomen (sowas wie Körper). Z.B. der Körper R.

"Raum" bedeutet bei mir immer "Vektorraum"-sorry für die vielleicht unpräzise Ausdrucksweise...

Zitat:
Und Isomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung.

Aha... Ich kenne es einfach als stetige Bijektion.

Zitat:
Z.B. R und die Potenzmenge von R sind nicht gleich groß.

Die Potenzmenge ist aber sowieso nicht mehr endlichdimensional, oder?

Zitat:
Du kannst ja auf der Menge aller Binärfolgen die zyklische Abbildung mit (...,1,...) + (...,1,...) = (...,0,....) und 1 * (...,1,...) = (...,1,...) definieren. Damit wird das ganze zu einem unendlichdimensionalen Vektorraum über {0,1}, denn 0 ist das additiv neutrale, das "not" ist das additiv inverse Assoziativität vererbt sich von den komponenten und Abgeschlossenheit ist trivial.

Na toll, du definierst einfach mal eine andere Addition. Mr. Green Ich weiß nicht, ob sowas in der Funktionalanalysis so üblich ist... Hab sowas jedenfalls noch nie gesehen.

Zitat:
Mit der Supremumsnorm ist dann eine Cauchy-Folge eine Folge von {0,1}^N -Elementen, bei der ab ab einem bestimmten Glied der Supremumsabstand der Elemente kleiner epsilon ist. Mit epsilon = 1/2 hast du einen 0 Abstand ab einem n.

Ist mir nachher noch selbst eingefallen; eigentlich logisch... Embarassed

Zitat:
Ich hoffe ich halte Dich nicht mit diesem Mist von der Lernarbeit.

Nö-ich versteh nur nicht alles. Mr. Green

Zitat:
Übrigens Du hattest verdammt Recht. Eine Diplomarbeit ist ein Full-Time-Job. Ich habe nur noch Quantoren im Kopf... Und muss in 6 Wochen abgeben.

Dann viel Erfolg bei der Fertigstellung. Very Happy Wie lautet das Thema? Wird mir zwar sicher nix sagen, aber hört sich bestimmt interessant an. Mr. Green
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