Funktion bijektiv?

Lanzzzy · Full Member Anmeldungsdatum: 09.05.2006 Beiträge: 160

Hallo,

gegeben ist:
f: A-->B
g:B-->C
h = g o f

|A| = a
|B| = b
|C| = c

Wieviele Bijektionen sind möglich?

a! (=b! (=c!))

kann mir jemand helfen dies zu verstehen? Warum Fakultät?
MfG

Tiamat · Verfasst am: 05 Feb 2008 - 10:45:38 Titel:

Also, ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so ganz. Die Frage ist doch, wieviele Bijektionen zwischen A und B bzw. B und C bzw. A und C möglich sind.

Ich würde sagen, damit eine Bijektion zwischen zwei Mengen überhaupt möglich ist, müssen beide Mengen gleichmächtig sein (Stichwort: Schubfachsatz), ansonsten gibt es nämlich entweder zu einem Bild kein Urbild (dann ist die Funktion nicht surjektiv) oder zwei Urbilder werden auf dasselbe Bild abgebildet (dann ist die Funktion nicht injektiv).

Auf deine Aufgabe übertragen müsste dann gelten: |A| = |B| = |C| = a = b = c.

So, wir haben jetzt also jeweils 2 gleichmächtige Mengen. Um auf die Fakultät zu kommen, tasten wir uns mal ran:

für a = 2 (also zwei Elemente pro Menge) gibt es nur die beiden Bijektionen

a1 --> b1
a2 --> b2

und

a1 --> b2
a2 --> b1

Also insgesamt 2 = 2! Bijektionen.

Für a = 3 (also drei Elemente pro Menge) gibt es schon mehr, nämlich 6 = 3! Die Anzahl ist nämlich immer gleich der Anzahl der Kombinationen, ein Element auf ein anderes abzubilden.

Man kann auch so vorgehen: Bei n Elementen gibt es für das 1. Element genau n Möglichkeiten, abgebildet zu werden. Für das 2. Element gibt es nur noch n-1 Möglichkeiten (eine ist ja schon besetzt), für das 3. Element nur noch n-2 Möglichkeiten usw.
Insgesamt also n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * 2 * 1 = n! Möglichkeiten.