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Denkaufgabe
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embryo
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 14:34:15    Titel: Denkaufgabe

Hallo zusammen.
Habe hier eine Aufgabe und muss sie unbedingt lösen,komme aber nicht ganz weiter.Kann mit vielleicht einer helfen?
Also es ist ein Quadrat ABCD gegeben.AB=60 ,um D (links oben) ist ein Kreis gezeichnet mit dem Radius DC (also auch 60).Die Gerade AB hat in der Mitte eine Schnittstelle M genau so wie BC eine Schnittstelle N bei 40 (von B aus gesehen) hat.Von M bis N ist eine Gerade vorhanden. AM = 30; MB = 30;
BN = 40; NC=20.Also ist das quasi ein Kreis um D der die GErade MN berührt.Jetzt muss ich beweisen ob der Kreis die Gerade wirklich berührt oder nicht.Ich habe berechnet dass die Gerade MN 25 ist aber wie geht es weiter?

Danke für eure Hilfe im Vorraus. Confused Confused Confused
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 14:40:45    Titel:

Am Besten du stellst Funktionsgleichungen für den Kreis sowie für die Gerade auf.
barachiel
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 699
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 14:49:23    Titel:

Zur verdeutlichung:
Aufgabe: Berührt der Kreis die Strecke NM?
embryo
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 14:53:18    Titel:

Geanu so ist es.
embryo
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 14:54:39    Titel:

Also die Zeichnung ist korrekt.Ich muss nur beweisen ob der Kreis die Gerade wirklich berührt oder scheint es nur so.
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 15:05:07    Titel:

Also, die Funktionsgleichung für die Gerade kann man leicht bestimmen. Sie lautet f(x) = 4/3*x - 40.

Bei der Kreisgleichung bin ich mir nicht so sicher, die lautet allgemein g(x) = sqrt(r^2 - x^2), wobei r der Radius des Kreises ist. In diesem Fall müsste man sicher noch berücksichtigen, dass der Mittelpunkt des Kreises nicht im Ursprung liegt und hätte dann als Kreisgleichung g(x) = sqrt(3600 - x^2) + 60.

Dann müsste man die beiden Gleichungen nur noch gleichsetzen und gucken, ob sich eine (oder zwei) Lösungen ergeben. Wenn ja, berührt (bzw. schneidet) die Gerade den Kreis, ansonsten nicht.
archur
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Anmeldungsdatum: 05.07.2006
Beiträge: 465

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 15:31:55    Titel:

Die Gleichung g(x) = sqrt(r^2 - x^2) liefert dir nur den oberen Halbkreis. Da hier aber der untere Halbkreis von Interesse ist, muss noch ein Minus vor die Wurzel, also:
g(x) = -sqrt(r^2 - x^2)

Dementsprechend heißt es dann auch g(x) = -sqrt(3600 - x^2) + 60.

Die Gleichung für den ganzen Kreis wäre übrigens r²=x²+y², hieße dann also auf das Beispiel angwedet: 3600 = x² + (y-60)²
embryo
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 15:38:13    Titel:

Kann man das nciht irgendwie geometrisch bestimmen,ohne die ganzen Funktionen? Question Question
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 15:46:44    Titel:

sicher kann man, über Dreiecke und Winkel.
Betrachte zunächst das Dreieck DAM. Die Strecke MD bekommst du über Pythagoras (2 bekannte Strecken). Der Winkel DMA ist arctan(2), der Winkel BMN ist arctan(4/3). Damit lässt sich der Winkel DMN bestimmen (180°-DMA-BMN). Weiterhin gibt es einen Punkt S auf der Strecke MN, bei dem die Strecken DS und SM rechtwinklig zu einander stehen(in der Zeichnung etwa der angenommene Berührpunkt, ob er es wirklich ist finden wir noch heraus). Betrachte nun das rechtwinklige Dreieck DMS: Wir kennen den Winkel DMS (er ist derselbe wie DMN), den Winkel DSM(rechter Winkel), damit auch den Winkel MDS(90°-DMS) und die Hypotenuse MD. Dann gilt sin(DMS)=SD/MD -->SD=sin(DMS)*MD. Wenn die Strecke 60 lang ist, dann ist S auf dem Kreis, wir haben den Berührpunkt verifiziert. Falls wir MS herausfinden wollen, MS=MD*cos(DMS)
edit: Alternativ reicht es, zu zeigen, dass DMS=AMD, dann sind die beiden Dreiecke ähnlich(und da sie eine gemeinsame Hypotenuse haben, sind die Katheten auch gleich lang)
embryo
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Anmeldungsdatum: 05.02.2008
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 16:17:59    Titel:

Tiamat hat folgendes geschrieben:
Also, die Funktionsgleichung für die Gerade kann man leicht bestimmen. Sie lautet f(x) = 4/3*x - 40.

Bei der Kreisgleichung bin ich mir nicht so sicher, die lautet allgemein g(x) = sqrt(r^2 - x^2), wobei r der Radius des Kreises ist. In diesem Fall müsste man sicher noch berücksichtigen, dass der Mittelpunkt des Kreises nicht im Ursprung liegt und hätte dann als Kreisgleichung g(x) = sqrt(3600 - x^2) + 60.

Dann müsste man die beiden Gleichungen nur noch gleichsetzen und gucken, ob sich eine (oder zwei) Lösungen ergeben. Wenn ja, berührt (bzw. schneidet) die Gerade den Kreis, ansonsten nicht.



Moment Mal ist die Geradengleichung nicht f(x)= 3/4*x-40 ?
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