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Parabel / Kegelschnitt aus 3 Punkten berechnen
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Talya
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Anmeldungsdatum: 27.12.2007
Beiträge: 65

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 15:55:59    Titel: Parabel / Kegelschnitt aus 3 Punkten berechnen

Hallo,

ich weiß, daß das wahrscheinlich eine sehr sehr einfache Aufgabe ist, aber ich komme partout nicht darauf, wie man aus drei gegebenen Punkten die Gleichung der Parabel berechnet. Außer den den drei Punkten ist auch weiter nichts gegegen.

Gleiches gilt für den Kegelschnitt - auch hier sind drei Punkte ohne weitere Information gegeben. (Bzw. zwei Punkte und der Hinweis, daß der eine Punkt , durch den der Kreis geht, die x-Achse berührt.) Gefragt ist nach der Kreisgleichung, dem Radius und dem Mittelpunkt.

Ich nehme an, daß ich das sogar irgendwann schon mal gemacht habe (zumindest die Parabelberechnung) aber bei mir schwirrt gerade alles nur noch durcheinander im Kopf rum.

Gruß
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2008 - 16:01:42    Titel:

Parabelgleichung:

y=ax²+bx+c

3 Unbekannte
3 Gleichungen kannst du durch deine 3 Punkte entwickeln...
Talya
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Anmeldungsdatum: 27.12.2007
Beiträge: 65

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2008 - 12:33:58    Titel:

Hallo,

danke, die Parabel hab ich inzwischen hinbekommen (Lineares Gleichunssystem nach GAUSS), mit den Kegelschnitten habe ich aber noch Probleme.


Es sind also drei Punkte A, B und C gegeben und daraus soll ich den Mittelpunkt und die Kreisgleichung bestimmen.

Geht das auch über LGS? Dann muß ich einfach schauen, wo mein Fehler liegt.
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2008 - 13:11:51    Titel:

Ist mit Kegelschnitt der Aufriss (gleichschenkliges Dreieck) gemeint ?

Ich würde diese Aufgabe vermutlich mit Vektorrechnung angehen..
Talya
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Anmeldungsdatum: 27.12.2007
Beiträge: 65

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2008 - 16:00:38    Titel:

Nein, es ist kein gleichschenkliges Dreieck.

Es ist ein Kegel, der waagerecht durchgeschnitten wird. Dadurch entsteht eine Kreisfläche, die man anhand der Punkte ausrechnen kann (wenn mans kann ^^).

Aufgabe:
A (2;1), B (-5;0) und C (8,2) sind Punkte eines Kreises. Bestimmen Sie die Kreisgleichung. Welchen Radius besitzt der Kreis und wo liegt sein Mittelpunkt?

Alternativ 2):
Bestimmen Sie die Gleichung eines Kreises, der die x-Achse in P1(3;0) berührt und durch den Punkt P2 (0;1) geht.

Ich habe es bei der ersten mit LGS probiert, aber ich komme da nicht auf das angegebene Ergebnis.

Lösung 1) (x + 41,5)² + (y - 280,5)² = 80 012,5; M (-41,5; 280,5), r = 282,86

2) (x - 3)² + (y + 2)² = 25, M (3;5), r = 5
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2008 - 17:02:43    Titel:

.

Zitat:
A (2;1), B (-5;0) und C (8,2) sind Punkte eines Kreises.

Tipp: schneide die Mittelsenkrechten der Sehnen AB und AC
und du hast als Schnittpunkt den Mittelpunkt des Kreises (,,warum eigentlich?..)

y-(3/2) = - 6(x-5)
y-(1/2) = - 7( x+ (3/2) )

.

Bei der zweiten kannst du analog überlegen:
x=3
y-(1/2) = 3( x - (3/2) )

.
Talya
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Anmeldungsdatum: 27.12.2007
Beiträge: 65

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2008 - 18:37:17    Titel:

Wie komme ich denn auf diese sogenannten Mittelsehnen? Die finde ich nirgends im Buch?!
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2008 - 20:40:46    Titel:

.

Zitat:
Wie komme ich denn auf diese sogenannten Mittelsehnen?

lies mal oben genau:
→"Mittelsenkrechte" Smile sind Geraden, die auf einer gegebenen Strecke (in deinem Beispiel sind dies Kreissehnen)
in der Mitte senkrecht stehen. (daher der Name)
also: du musst wissen,
- wie du den Mittelpunkt einer Strecke AB bekommst (arithmetisches Mittel) und
- welche Steigung m2 eine Gerade hat, die zu einer bekannten Richtung m1 senkrecht steht. (m1 * m2 = - 1)


http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelsenkrechte
http://www.mathezentrale.de/zieglerwestphal/ortsliniemittelsenkrechte.html
usw....

.
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