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Vektorräume
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otter
Gast






BeitragVerfasst am: 11 März 2005 - 01:21:16    Titel: Vektorräume

Hallo.
Kennt sich jemand mit Vektorräumen aus? Ich habe die folgende Definition aus Wikipedia übernommen.

Eine Menge V heißt Vektorraum über einem Körper K oder K-Vektorraum, wenn zwei Verknüpfungen,

* eine Vektoraddition +:V×V→V und
* eine Skalarmultiplikation *:K×V→V

definiert sind, die den folgenden zehn Bedingungen genügen: etc.

Kann mir jemand erklären warum das so ist??
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 11 März 2005 - 09:55:16    Titel:

das ist ne definition... weiter nichts... die frage des warum ist dann irrelevant. ist einfach ne mathematische struktur die so definiert ist
otter
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Anmeldungsdatum: 11.03.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 11 März 2005 - 16:52:36    Titel:

Ja, schon klar. Aber was bedeutet V×V→V und K×V→V , ich meine, was sagt das aus??

Es muss doch einen Grund für die Definition geben.
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 12 März 2005 - 02:15:36    Titel:

ein vektorraum über einem körper K ist einfach eine menge auf der 2 operationen definiert sind, eine addition
+ : V x V -> V
(u,v) -> u+v
und eine skalarmultiplikation
. : K x V -> V
(k,v) -> k v
so dass
(V,+) ne kommutative gruppe ist, und die skalarmultiplikation folgende eigenschaften hat:
1) für jedes v in V gilt 1 v = v, wobei 1 das einselement von K ist
2) k ( n v) = (k n) v
3) k (u+v) = (k u) + (kv )
4) (k+n) v = (k v) +(n v)

das ist einfach so... nen speziellen grund dafür gibt es nicht... man nennt sowas eben einfach "vektorraum", und die elemente von V "vektoren", und die elemente von K "skalare" (weil eben das was man in der geometrie "vektorrechnung" nennt eben auch diese eigenschaften hat)
aber ne tiefgründige bedeutung hat das nicht... das ist als wenn du fragst warum man eine gruppe eben "gruppe" nennt, oder den kreis einen kreis, etc,
otter
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Anmeldungsdatum: 11.03.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 12 März 2005 - 20:10:34    Titel:

Ok. Das verstehe ich.
Ich glaub ich hätte zuerst einmal Fragen sollen was ist überhaupt ein Vektorraum. Die Definition kenne ich jetzt. Kann man das irgendwie darstellen? Wie sieht das aus?
Ich meine hat das was mit einem Raum zu tun oder führt mich das alles nur in die irre????
Je mehr ich versuche das zu verstehen, desto komischer wird alles.
3li7är
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Anmeldungsdatum: 04.02.2005
Beiträge: 357

BeitragVerfasst am: 12 März 2005 - 20:40:19    Titel:

hallo,

die def. eines VR ist nur der Rahmen dessen, was erlaubt ist. So gibt es viele konkrete beispiele für VR.

das einfachste ist die menge der pfeile in der geometrie, die eine verschiebung darstellen.

da sind die axiome auch ganz sinnvoll:

zwei verschiedene verschiebungen hintereinander durchgeführt lassen sich durch eine einzioge verschiebung darstellen. es passiert nie dass zwei verschiebungen hintereinander ausgeführt eine drehung ergeben.

das ist das axiom der abgeschlossenheit.

gruß
otto
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