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X^4+1 ansatz gesucht
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> X^4+1 ansatz gesucht
 
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Holmek
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Anmeldungsdatum: 16.01.2007
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 17:35:55    Titel: X^4+1 ansatz gesucht

ich such einen ansatz wie ich die lösungen dieses polynoms bestimmen kann

die wenn ich substituire mit Z=x^2, bekomme ich ja [edit] Z=+- i raus, wenn ich dann rücksubstituire steht dann X1=+-wurzel-i
und X2=+-wurzeli, das macht mich ein wenig stuzig, polynom division fällt aus wegen keiner ersten nullstelle, und horner auch, für einen tip währe ich echt dankbahr
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 17:46:44    Titel:

Einheitswurzeln
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 17:50:30    Titel:

Ähm, ich weiß wohl, dass die vier Nullstellen an den Punkten e^i*Pi/4, e^i*3Pi/4, e^i*5Pi/4 und e^i*7Pi/4 liegen. Die n-ten Einheitswurzeln bilden ja immer ein regelmäßiges n-Eck am Einheitskreis.

In normaler Schreibweise lauten diese Nullstellen +/- sqrt(2)/2 +/- i*sqrt(2)/2. Wie man darauf kommt, weiß ich momentan leider nicht, ich habs nur aus der Grafik abgeleitet.
Holmek
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Anmeldungsdatum: 16.01.2007
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 17:50:39    Titel:

ja da bin ich auch schon drauf gekommen, wie drücke ich das dann als polynom aus?
Holmek
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Anmeldungsdatum: 16.01.2007
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 17:54:10    Titel:

ne gut problehm gelöst jetzt hab ich vier komplexe lösungen raus, wie schreibe ich die als, polinome?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 17:57:12    Titel:

Was meinst du mit 'als Polynome schreiben' ? Welche Lösungen hast du denn raus ?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 17:57:34    Titel:

Sind die (durchaus auch komplexen) Nullstellen des Polynoms einmal bekannt, dann kann das Polynom gemäss

http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra

in Produkt-Darstellung angegeben werden:

Code:

   (x-exp{i·1·¼·π}) · (x-exp{i·¾·π}) · (x-exp{i·5·π÷4})  · (x-exp{i·7·π÷4})


, nach Ausmultiplizieren liegt wieder die übliche Form

Code:
 x^4+1


welche ja gegeben wurde, daher wurde in der Aufgabe vermutlich nach der faktorisierten Produkt-Darstellung gefragt.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 11 Feb 2008 - 18:02:14, insgesamt einmal bearbeitet
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 18:01:51    Titel:

Was meinst du mit "als Polynome schreiben"? Eine Lösung einer solchen Gleichung, wie du sie hast, ist eine komplexe Zahl - die kann man entweder in der Standardschreibweise, also z = x + iy darstellen, oder in Polarkoordinatenschreibweise, also z = r*e^iPhi. Du kannst ja auch die reelle Zahl 5,7 nicht als Polynom darstellen...

Ach, so war das gemeint... alles klar! Very Happy
Holmek
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Anmeldungsdatum: 16.01.2007
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 18:04:14    Titel:

ja genau das hab ich auch raus ich brauch aber ein polynom mit reeler zahlen
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 18:07:46    Titel:

Das wirst du nicht hinkriegen, denn x^4 + 1 ist über R nicht zerlegbar, weil es keine reellen Nullstellen hat!
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