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Primitivwurzel modulo 47
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 11 Feb 2008 - 17:37:47    Titel: Primitivwurzel modulo 47

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe und wollte mal wissen, ob meine Argumentation richtig ist:

"Ist 7 Primitivwurzel mod 47?"

Meine Lösung lautet: Wenn die Aussage wahr sein soll, dann muss ord47(7) = Phi(47) sein.

Phi(47) = 46, da 47 eine Primzahl ist.

Überprüfe also zuerst, ob die Kongruenz 7^46 = 1 mod 47 erfüllt ist. Antwort: Ja, ist sie, denn nach dem kleinen Satz von Fermat gilt 7^47 = 7 mod 47, also auch 7^46 = 1 mod 47.

Jetzt ist nur noch zu prüfen, ob die Kongruenz 7^x = 1 mod 47 nicht noch für eine kleinere Zahl als 46 erfüllt ist, denn wäre dem so, wäre 46 nicht die Ordnung von 7 modulo 47.
Die Ordnung ist jedenfalls immer ein Teiler von Phi(m) und 46 hat nur die vier Teiler 1,2,23,46. Überprüfe also für alle Teiler, ob die Kongruenz erfüllt ist:

7^1 = 7 mod 47 --> nicht erfüllt
7^2 = 49 = 2 mod 47 --> nicht erfüllt
7^23 = ((7^2)11)*7 = (2^11)*7 = 4096*7 = 14336 = 1 mod 47 --> erfüllt!

Also ist ord47(7) = 23 und nicht 46 = Phi(47), also ist 7 nicht Primitivwurzel von 47.
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