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Stetigkeit/konvergenz potenzreihe
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samiegirl
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Anmeldungsdatum: 11.01.2008
Beiträge: 42
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2008 - 00:53:05    Titel: Stetigkeit/konvergenz potenzreihe

Hallo,
ich habe eine grundlegende Frage. bzw mehrere. Nirgens steht wirklich klar(ohne hieroglyphen) was es heißt das eine Funktion stetig ist oder das sie konvergiert.

rechnerisch bedeutet stetigkeit das sie keine defitionslücken hat, oder?
was bedeutet stetig dann graphisch? (außer das die funktion vielleicht an einer stelle springt)

und konvergenz? das man einen grenzwert (ungleich unendlich) bestimmen kann?

Jetzt haben wir in der übung eine aufgabe gemacht die ich nicht verstehe:
wir sollten die

taylorreihe von sin(x²)

bestimmen und ob die reihe konvergiert.

die taylorreihe war aus einem für mich nicht klaren grund ohne rechnerei klar. und konvergieren tut sie da: " sie für jedes beliebige x definiert ist" was hat denn das mit konvergenz zu tun?

Ich hoffe das jemand diesen langen Monolog beantwortet Wink
Danke!
fubar00
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Anmeldungsdatum: 11.02.2008
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2008 - 11:22:55    Titel:

Zitat:
was bedeutet stetig dann graphisch? (außer das die funktion vielleicht an einer stelle springt)


Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben. (Wikipedia)

konvergent ist eine folge oder funktion wenn ein grenzwert bestimmt werden kann.

eine taylorreihe beschreibt eine funktion durch eine andere.diese kannst du durch das taylorpolynom bilden.je höher das polynom desto genauer die annäherung.
samiegirl
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Anmeldungsdatum: 11.01.2008
Beiträge: 42
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2008 - 12:20:14    Titel:

Okay danke Smile
aber wenn die funktion (zu der ich die taylorreihe erstelle) an allen punkten definiert ist, warum ist dann die reihe konvergent? bzw stimmt das so?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2008 - 14:33:39    Titel:

samiegirl hat folgendes geschrieben:
Okay danke Smile
aber wenn die funktion (zu der ich die taylorreihe erstelle) an allen punkten definiert ist, warum ist dann die reihe konvergent? bzw stimmt das so?
Muss nicht.


Schau dir beispielsweise die Taylorreihe zu ln(1 + x) an, die ist nur konvergent für -1 < x <= 1.

http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius


Ahja, nur weil eine Reihe konvergent ist, muss sie nicht gegen die entsprechenden Funktionswerte konvergieren Wink
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