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Beweise zur Stetigkeit
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Anno23
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Anmeldungsdatum: 12.02.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2008 - 12:55:47    Titel: Beweise zur Stetigkeit

Hi,
ich bin im 1. Semester Physik und schreib ziemlich bald eine Matheprüfung zur Analysis I, übe daher ein paar Aufgaben, aber leider habe ich nicht für alle eine Musterlösung.
Ich würde gerne von euch wissen, ob meine Beweise der beiden folgenden Aufgaben sinnvoll, möglicherweise sogar richtig sind. Smile

Also: (€ heißt element von, c heißt teilmenge von, V* heißt für alle und E* heißt es existiert, e heißt Epsilon )

1)
Vor: Sei M c R. Definiere d: R -> R, d(x) := inf {|x-y|: y€M}.
Beh: Es gilt: V* x € R ist d stetig.
Bew: [zu zeigen: V* e > 0 E* r >0: V* a,b € R: |a-b| < r folgt |d(a) - d(b)| < e]

Sei e € R(>0) vorgegeben. Dann setze r=e. So gilt: |a-b| <r.

Ferner sei A:={ |a-y|:y € M} und B:= { |b-y| : y€ M}. Dann gilt für alle |a-y|: infA < |a-y|. Analog für infB.

Dann folgt:

|d(a)-d(b)| = |infA - infB| < | |a-y| - |b-y| < |a-y - (b-y)| = |a-y-b+y| = |a-b| <e.

qed.

2)
Vor: Seien f,g : [a,b] -> R stetige Funktionen und f(a) > g(a) sowie f(b) < g(b).
Beh: Es existiert ein x € [a,b], so dass gilt f(x) = g(x).
Bew:
Sei h: [a,b] -> R, x-> g(x) - f(x) eine Funktion. Dann ist h als Verknüpfung zweier stetiger Funktionen wieder stetig.
Da nach Vor. g(a) < f(a) gilt folgt:

h(a) = g(a) - f(a) -> h(a) <0.

Da nach Vor. g(b) > f(b) gilt, folgt h(b) >0.

Dann existiert, nach dem Zwischenwertsatz, ein x € [a,b] mit h(x) = 0.
Dies gilt genau dann, wenn g(x) = f(x).

qed.

Was haltet ihr von den Beweisen?
Anno23
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Anmeldungsdatum: 12.02.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 17:25:55    Titel:

Es muss doch nur mal einer, de Ahnung hat sagen, das ist entweder falsch oder richtig... Rolling Eyes
Stinner
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 122

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 18:19:47    Titel:

Hi,
muss mich bei der ersten korrigieren. denke die zweite Abschätzung in der Folgerung ist falsch. Ich würde den Beweis so machen.:
Seien x,z € M, dann gilt:

|d(x)-d(z)|=||x-y1|-|z-y2|| <= |x-y1-z+y2| = |x-z+y2-y1| <= |x-z|+|y2-y1| < |x-z| Hier ist das einzige wirkliche Ungleichheitszeichen, welches aus der Monotonie der Addition folgt.

Damit ist gezeigt, dass die Funktion Lipschitzstetig und damit insbesondere stetig ist.


Die 2 scheint völlit richtig.

Gruß
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