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Komplexe Spannung
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_Meri_
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Anmeldungsdatum: 26.11.2007
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 18:05:09    Titel: Komplexe Spannung

Hallo

die zweite Ableitung von der komplexen Spannung U=U* e^jwinkel Phi

ist doch 0 oder??
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 18:23:30    Titel:

Wenn Du nach der Variablen t ableitest, bestimmt...
... und jetzt versuch mal, Deine Frage so zu formulieren, daß sie einen Sinn gibt!
_Meri_
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Anmeldungsdatum: 26.11.2007
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 18:32:02    Titel:

Tut mit leid...ich habe keine große Ahnung von Physik Crying or Very sad ich schreibe gerade eine Facharbeit über komplexe Zahlen, und habe heute eine Aufgabe bekommen, die ich lösen muss.
Ich muss zeigen , dass die Funktion -1/LC* U(t)=Ü(t) erfüllt ist.

Ich habe die zweite Ableitung gemacht und setze U ein. habe dann
- U* e^jphi/ LC = 0 stehen.

jetzt weiß ich aber nicht weiter...kann mir vllt. jemand weiterhelfen, wie ich zeigen soll, dass die Funktion erfüllt ist?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 18:35:39    Titel:

Hallo!

Du hast eine Differentialgleichung zweiter Ordnung dastehen. Suchst du jetzt Lösungsfunktiobnen davon, oder hast du welche, und willst nachrechnen, dass sie die Differentialgleichung erfüllen?

btw: Das hat erstmal nicht viel mit komplexen Zahlen zu tun...


Cyrix
_Meri_
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Anmeldungsdatum: 26.11.2007
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 18:43:33    Titel:

ich schreibe momentan eine Facharbeit über komplexe Zahlen und ihre Anwendung in Naturwissenschaften bzw. in Physik.

ich habe von meinem Lehrer gesagt bekommen, dass es z.B
komplexe Sapnnung U= U*êjphi gibt.

Dann gab er mir noch eine Funktion, die lautet: -1/LC* U(t)= Ü(t)

jetzt muss ich zeigen dass die Funktion erfüllt ist. Weitere Infomationen hab ich leider nicht.
ich weiß nur, dass ich die zweite Ableitung machen und U einsetzen muss.
Bitte helft mir.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 18:43:47    Titel:

Nehmen wir an, es soll nach der Zeit differenziert werden (wonach denn sonst im Zussammenhang mit harmonischen elektrischen Wechelgrössen)?

Die komplexe Spannung U selbst ist bereits etwas "Transformiertes";
wird diese abgeleitet, werden sie sofort 0, das ist richtig.

Um etwas Interessanteres zu erhalten, sollten wir eine Zeit funktion nach t ableiten.

Die komplexen Spannung U kann durch Multiplikation mit dem Drehzeiger exp(j·ω·t) in eine komplexe Zeitfunktion "rücktransformiert" werden (ich pflege übrigens diese Art von Transformationen mit dem Begriff "Kennelly-Transformation" zu bezeichnen).

u(t) = U ·exp(j·ω·t)

Jetzt ergibt auch die Differentiation nach t eine Bedeutung,

u'(t) = j·ω ·U ·exp(j·ω·t)

u"(t) = -ω² ·U ·exp(j·ω·t)

Jetzt folgt die spannende Frage: erfüllen diese Ableitungen die vom Lehrer gegebene DGL? Nur, wenn ω = 1÷√(L·C)?

Jedenfalls toll, diese Theorie von A.E.Kennelly: erspart das Lösen von Differentialgleichungen, wenn nur der stationäre (eingeschwungene) Zustand von Interesse ist.
_Meri_
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Anmeldungsdatum: 26.11.2007
Beiträge: 79

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2008 - 18:54:02    Titel:

sorry, aber ich verstehe nicht so ganz was du da gemacht hast. Ich hab seit einigen Jahren kein Physik mehr, und ich habe sehr große lücken.

ich weiß nicht was genau mein Lehrer von mir haben wollte. er meinte die zweite ableitung muss ich bilden, dann U einsetzen, dann zeigen ob die Funktion erfüllt ist. Wie zeige ich denn ob eine Funktion erfüllt ist oder nicht? Crying or Very sad
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2008 - 13:55:15    Titel:

Bei mir ist e^{x} = exp (x).

Ich würde "zeigen, ob eine Funktion erfüllt ist..." durch "zeigen, ob die Zeitfunktion eine Differentialgleichung erfüllt..." ersetzen.

Das kommt dann ganz unten.

Ich muss zunächst etwas ausholen.

Es geht hier um zwei verschiedene Dinge, welche unter Umständen einen gewissen Zusammenhang haben oder auch nicht wirklich zusammenpassen. Das liegt aber nicht an Dir, sondern am Lehrer.

Es geht darum, dass sich die komplexe Wechselstromrechnung nur um einem System durch (ideale) Quellen eingeprägte Frequenzen kümmert, und nicht wirklich um Resonanzfrequenzen (diese werden eher durch die Laplace-Transformation oder andere Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen behandelt).

Du musst eigentlich nur wissen, dass {exp(a·t)}' = a·exp(a·t): die Ableitung der Exponentialfunktion ist die innere Ableitung mal die gegebene Exponentialfunktion, das Additionstheorem exp(a+b) = exp (a) ·exp (b), j² = -1 und den Euler exp (±j·φ) = cos (φ) ± j·sin (φ).

Ich würde es vorziehen, anstelle einer Spannung den Strom i(t) zu betrachten. Wir haben nämlich da zwei Spannungen, eine über der Induktivität und eine über der Kapazität (sie unterscheiden sich nebenbei erwähnt nur durch einen Faktor -1), deshalb wüssten wir nicht, von welcher wir gerade sprechen.

Da gibt es einen verlustfreien L-C-Schwingkreis mit einer idealen Induktivität L und einer idealen Kapazität C.

Es gibt hier keine antreibende ideale harmonische (= sinusförmige) Strom -oder Spannungsquelle mit Kreisfrequenz ω.

Möglicherweise enthält der Schwingkreis aus grauer Vorzeit eine bestimmte Energiemenge, welche für ewige Zeiten zwischen L und C hin und her pendelt.

Code:
 
          uL(t)      uC(t)
          ------>    ------->

      i(t)  +-----+     | |
   +-->---|       |-----| |-------+
    |       +-----+     | |        |
    |                                |
    |         L         C           |
    |                                |
    |                                |
   +-------------------------------+


Durch die Induktivität L und die Kapazität C fliesst derselbe Strom i(t).
Über der Induktivität L liegt die Spannung
Code:
uL(t) = L·i'(t)

[Induktionsgesetz].
Über der Kapazität C liegt die Spannung
Code:
       
            1  t
 uC(t) = -· ∫i(u)·du +uC0
            C 0

wobei das bestimmte Integral die seit t=0s in der Kapazität angesammelte Ladung angibt.
Es gilt die Maschengleichung
Code:
uL(t) + uC(t) = 0V

Die Zeitfunktion i(t) kann beispielsweise mit Laplace-Transformation gefunden werden (das gehört allerdings nicht hierher). Falls beispielsweise der Strom i(t) zum Zeitpunkt t = 0s gerade das Maximum i0 annimmt (gesamte Energie W =½·L·i0² im Magnetfeld der Induktivität gespeichert), dann findet man
Code:
 
             i(t)  =  i0·cos(ω0·t)
             ω0 =  1÷√(L·C)

(i0 ist der Strom zum Zeitpunkt t = 0s).

Normalerweise sind solche Lösungen von der Form
Code:
x(t) = X·cos(ω·t+φ) +X0·exp(-δ·t)·cos(ω0·t+φ0)

Der Term links wird von antreibenden Quellen verursacht.
Der Term rechts stellt den exponentiell abklingenden Einschwingvorgang dar. Für unser Beispiel haben wir nur den Term rechts (mit Resonanz-Kreisfrequenz ω0), und dieser klingt mangels Dämpfung nicht ab.

Das Beispiel ist aus den beiden folgenden Gründen speziell:
- Es gibt üblicherweise eine (oder mehrere) treibende Quelle(n), welche der Schaltung ihre eigene (Kreis-)Frequenz ω aufprägt/en.
- Es gibt üblicherweise eine Dämpfung, welche den Schwingungsanteil mit der dem Schwingkreis eigenen Resonanz-(Kreis-)Frequenz ω0 exponentiell abklingen lässt (Einschwingvorgang). Weil wir hier keine Dämpfung haben, klingt die Eigenresonanz-Schwingung nicht ab.
Mit der komplexen Wechselstrom-Rechnung kann nur der nicht-flüchtige (stationäre), von den Quellen aufgeprägte Anteil behandelt werden, d. h. es wird nur der Term links in der allgemeinen Lösung
Code:
x(t) = X·cos(ω·t+φ) +X0·exp(-δ·t)·cos(ω0·t+φ0)

behandelt; wir haben in unserem Beispiel aber nur einen Spezialfall des Terms rechts.Crying or Very sad

Wir können nur dadurch dennoch einen Zusammenhang mit der komplexen Wechselstromrechnung herstellen, weil keine Dämpfung vorliegt. Wir werden nun die komplexe Wechselstromrechnung auf etwas ungewöhnliche Weise einsetzen Twisted Evil ! Verwendung der Resonanz(kreis)frequenz ω0 anstelle einer sonst üblichen Quellen(kreis)frequenz ω.

Der Lehrer hat nun die Maschengleichung
Code:
   
       0V    =    uL(t) + uC(t)
                                   t
       0V    =  L·i'(t) + 1÷C·∫i(u)·du +uC0
                                    0

nach der Zeit differenziert,
Code:
    0V÷s  =   uL'(t) + uC'(t)
 
              0V÷s  =  L·i"(t) + 1÷C·i(t) 

durch L dividiert,
Code:
     
          0A÷s² =    i"(t) + 1÷(L·C)·i(t) 

und 1÷(L·C)·i(t) subtrahiert.
Code:
    
   1
 - --- ·i(t) =    i"(t)
  L·C

Das ist die gegebene Differentialgleichung, allerdings für den Strom i(t) und nicht für Spannungen, diese können bei bekanntem Strom anschliessend berechnet werden.

Bei der komplexen Wechelstromrechnung wird eine harmonische Zeitfunktion der Form
x(t) = X·cos(ω·t+φ)
(Spannung oder Strom) durch analytische Erweiterung (involviert Hilbert-Transformation, aber das gehört auch nicht hierher) in eine komplexe Zeitfunktion der Form
x(t) = X·exp(j·{ω·t+φ}) = X·exp(j·ω·t) gebracht. Anschliessend wird durch exp(j·ω·t) dividiert und es bleibt nur noch die komplexe Grösse X übrig, womit jetzt bequem komplex gerechnet werden kann [die Phasen-Information φ steckt jetzt in dem komplexen X = X·exp(j·φ)].
Hier folgt nun der Rückweg (komplex->Zeitfunktion): Ist jetzt der komplexe Strom I gegeben (z. B. i0), dann kann daraus durch Multiplikation mit dem komplexen Drehzeiger exp(j·ω0·t) die komplexe Zeitfunktion i(t) = i0·exp(j·ω0·t) gebildet werden, wobei wir hier (wie zuvor erwähnt) unsere Resonanz-Kreisfrequenz ω0 = √{1÷(L·C)} einsetzen, und nicht das ω einer harmonischen Quelle, wie das sonst üblich wäre.

Wird von der so erhaltenen komplexen Zeitfunktion i(t) = i0·exp(j·ω0·t) = i0·[cos(ω0·t)+j·sin(ω0·t)] der Realteil gebildet, so erhält man die reelle Zeitfunktion
Code:
i(t) = i0·cos(ω0·t)

, was wir (nicht zufälligerweise) bereits zuvor als Lösung der Differentialgleichung erhalten hatten.

Was nun offenbar gezeigt werden soll, ist die Tatsache, dass auch die komplexe Zeitfunktion i(t) selbst die erwähnte Differentialgleichung erfüllt. Shocked

i(t) = I ·exp(j·ω0·t)
Wir bilden die 2. Ableitung
i'(t) = j·I·ω0 ·exp(j·ω0·t) = j·ω0 ·i(t)
i"(t) = -I·ω0²·exp(j·ω0·t) = -ω0² ·i(t)

und sehen sofort, dass die gegebene Differentialgleichung
Code:
- ω0²·i(t) =    i"(t)
erfüllt ist (sie steht ja schon da).
Mr. Green



Spannungen und komplexe Impedanzen ("Widerstände").
Lösung der Differentialgleichung: i(t) = i0·cos(ω0·t)

Differentiation:
Code:
uL(t) = L·i'(t) = -ω0·L·i0·sin(ω0·t) = -√(L÷C)·i0·sin(ω0·t)

Integration:
Code:
 
                     t                     t
   uC(t) = 1÷C·∫i(u)·du = i0÷C·∫cos(ω0·u)·du
                     0                    0
       = i0÷(ω0·C)·[sin(ω0·t)-0] = √(L÷C)·i0·sin(ω0·t) = -uL(t)

Komplexe Wechselstromrechnung:
ZL= j·ω0·L: imaginäre induktive Impedanz
UL = ZI = j·ω0·L·I = j·√(L÷C)·i0

uL(t) = UL · exp(j·ω0·t) = j·√(L÷C)·i0 ·[cos(ω0·t)+j·sin(ω0·t)]
= √(L÷C)·i0 · [-sin(ω0·t)+j·cos(ω0·t)]

uL(t) = Re{uL(t)} = -√(L÷C)·i0·sin(ω0·t), wie zuvor durch Differentiation erhalten.

uL'(t) = -√(L÷C)·ω0·i0·cos(ω0·t) = -i0÷C·cos(ω0·t)
uL"(t) = i0÷C·ω0·sin(ω0·t) = 1÷{C·√(C·L)}·i0·sin(ω0·t) = -1÷(L·C)·uL(t)
-> die Differentialgleichung gilt auch für uL(t).

ZC = 1÷(j·ω0·C): imaginäre kapazitive Impedanz

UC = ZI = 1÷(j·ω0·C)·I = -j·√(L÷C)·i0

uC(t) = UC · exp(j·ω0·t) = -j·√(L÷C)·i0 · [cos(ω0·t)+j·sin(ω0·t)]
= √(L÷C)·i0 · [sin(ω0·t)-j·cos(ω0·t)]

uC(t) = Re {uC(t)} = √(L÷C)·i0 · sin(ω0·t), wie zuvor durch Integration erhalten.
Die Differentialgleichung gilt auch für uC(t).

Wir betrachten den Spezialfall eines Einschwingvorgangs (welcher nicht abklingt, weil keine Dämpfung vorliegt). Wir zweckentfremden die komplexe Wechselstromrechnung, indem wir sie auf einen Einschwingvorgang anwenden. Das ist didaktisch fragwürdig, denn es verführt zur falschen Annahme, man könne mit der komplexen Wechselstromrechnung allgemein Schwingkreise behandeln. Sobald jedoch eine Dämpfung (aber weiterhin keine Quelle) vorliegt, liefert die komplexe Wechselstromrechnung den stationären Zustand 0. Wir müssen uns bewusst sein, dass die komplexe Wechselstromrechnung hier nur daher funzt, weil der Einschwingvorgang im betrachteten Spezialfall aus harmonischen (sinusförmigen) Grössen besteht.
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