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Differentiale
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o0
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Anmeldungsdatum: 21.07.2007
Beiträge: 259

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 13:56:10    Titel: Differentiale

Hallo,
kann mit jemand anschaulich erklären welche Bedeutung die Differentiale haben? Sie stehen ja z.B. immer hinter Integralen, aber warum eigentlich? Was haben sie zu bedeuten?
Unser Lehrer hat gesagt, das dx wäre einfach nur eine Schreibweise, welcher keine weitere Bedeutung zu kommt. Aber bei der Substitution rechnet man auf einmal damit rum. Also muss es doch irgendetwas zu sagen haben.
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 13:57:06    Titel:

Das sind einfach infinitesimal kleine Längen.

Beispiel Ableitung:
dx ist das Stückchen, das in x-Richtung gegangen wird. dy dann das Stückchen, das in y-Richtung "entsteht".

Beispiel Integral:
dx ist die Breite der kleinen Rechteckstreifen, aus denen der Flächeninhalt zusammengesetzt wird. f(x) die Höhe =>Flächeninhalt eines Streifens f(x)*dx. Summe aller Rechteckstreifen: Int f(x)*dx.


Zuletzt bearbeitet von Cheater! am 27 Feb 2008 - 13:59:41, insgesamt einmal bearbeitet
o0
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Anmeldungsdatum: 21.07.2007
Beiträge: 259

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 13:58:06    Titel:

Und warum steht das beim Integral hinten dran? Hat es da irgendeine Bedeutung?
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 14:15:21    Titel:

o0 hat folgendes geschrieben:
Und warum steht das beim Integral hinten dran? Hat es da irgendeine Bedeutung?


diese Differentiale beschreiben die infinitesimal kleine Aenderungen, damit die Flaeche defacto so genau wie moeglich bestimmt werden kann. Desto kleiner die 'Abtastschritte', desto genauer.

Gruss:


Matthias
o0
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Anmeldungsdatum: 21.07.2007
Beiträge: 259

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 14:18:50    Titel:

Also ist das dx hinter dem Integral eigentlich nicht zum rechnen gedacht. Finde es halt ein wenig verwirrend, dass man bei der Substitution damit rumrechnet, vorallem wenn es heißt, die Differentiale haben angeblich nichts zu bedeuten.
wima
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Anmeldungsdatum: 12.05.2006
Beiträge: 1232

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 15:18:28    Titel:

Natürlich haben sie eine Bedeutung. Sie zeigen in welcher Richtung du integrierst, bzw. wie du deine Vorschrift wählen musst. Cheater hat es schon korrekt ausgedrückt, für nähere Informationen(werde dafür nicht bezahlt;)) bitte den Papula aufschlagen, der hat es sehr anschaulich erklärt.

Ich meine, wenn du eine Fläche, die von Geraden oder sonstwas begrenzt wird, integrierst, hast du manchmal mehrere Möglichkeiten zu integrieren, da ist es wichtig ob hinten dx, dy oder sonstwas steht.
Anderes Bespiel bei einem Rotationsparabloiden drückt das dx eine Drehung um die x-Achse, dy um die y-Achse aus. Dann musst du bei y-Achsen Drehung auch eine Vorschrift x=... benutzen.
emu
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Anmeldungsdatum: 01.02.2006
Beiträge: 247
Wohnort: leipzig

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 17:11:37    Titel:

JETZ hab ichs gerafft!!!!

Genau die gleiche Frage wie sie von oO kam hab ich mir auch gestellt... Wenn das dx nur bedeutet, dass man nach x integrieren muss, warum kann man dann auf einmal bei der Substitution damit rechnen...

Klar wirds einem, wenn man die Erklärung von Cheater! nimmt:

Beim Integrieren steht das dx nicht einfach so dahinter, sondern ist ein Faktor! Dh ich multipliziere das Ergebnis der Funktion (also y) mit der Breite des Streifens (dx).

Bsp Integral von 0 bis 1 von x:
Für Breite meines Streifens wähle ich 0.1, habe also 10 Streifen
1. Streifen: x1*dx entspricht 0.1*0.1=0.01
2. Streifen: x2*dx entspricht 0.2*0.1=0.02
usw

Die Summe der 10 Streifen ergibt dann 0.55
Davon ziehe ich jetz noch 10*0.005=0.05 ab (das sind die Stücke, die außerhalb der Kurve liegen und nicht zum Flächeninhalt gehören - deswegen wählt man unendlich kleine Stücke, um den "Überhang" so gering wie möglich zu halten)
und habe den Flächeninhalt unter der Kurve

Wenn man das Ganze auf Kästchenpapier zeichnet und 1 Kästchen=0.1 setzt, wirds anschaulich.

;O)

Und weil das dx ein Faktor is, deswegen kann man damit bei der Substitution auch rumrechnen!!! Toll
o0
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Anmeldungsdatum: 21.07.2007
Beiträge: 259

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 15:00:38    Titel:

Ich habs auch verstanden und habe heute mal meinen Lehrer gefragt. Der hat immer noch gesagt dx ist im mathematischen Sinne nur eine Schreibweise und keine unendlich kleine Zahl.
Deshalb haben wir auch 2 unteschiedliche Substitutionsvarianten: "offiziel" und "inoffiziel". "Inoffiziel" weil man mit den Differentialen rechnet, die ja laut ihm Schreibweisen und keine Zahlen sind.

Siehe:
http://www.fortapocalypse.de/page1/files/LK1_Analysis.pdf
Seite 53+54
barachiel
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 699
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 15:23:33    Titel:

In der Mathematik gibt es viele Symbole und Schreibweisen die bei verschiedenen Gelegenheiten unterschiedlich definiert wurden.
So gibt es z.B. verschiedene Definitionen des Integrals (das bekannteste und anschaulichste ist wohl das Riemann-Integral). Manche Definitionen sind besonders leicht zu verstehen, andere haben den Vorteil, dass man daraus schöne Verallgemeinerungen folgern kann. So kann die Integration über die Delta-Distribution nicht mit dem Riemann-Integral erklärt werden, da die Delta-Distribution keine Funktion ist und deshalb die Definition des Riemann-Integrals versagt. Jedoch gelingt es dies mit anderen Definitionen des Integrals.

So ist das dx beim Riemann-Integral bloss eine Schreibweise, die für die Integrationsvariable steht. Bei anderen Definitionen des Integrals, mag das dx nun effektiv eine erweiterte Bedeutung haben - damit kenne ich mich aber nicht aus.
emu
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Anmeldungsdatum: 01.02.2006
Beiträge: 247
Wohnort: leipzig

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 15:33:06    Titel:

Ach ich glaub einfach, da wurde das gleiche Symbol für unterschiedliche Dinge verwendet.

Einmal ist dx nur ein Hinweis, nach welcher Variablen differenziert werden soll,
ein anderes Mal ist es eben ne Größe (delta x)...
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