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Ableitung/ Differenzenquotient
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Jo´s
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Anmeldungsdatum: 13.10.2006
Beiträge: 182

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 18:59:32    Titel: Ableitung/ Differenzenquotient

Hallo Very Happy Exclamation

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
Ich hoffe ihr könnt mir helfen... Sad

Berechne die Ableitung von der Funktin

f(x)= Wurzel(25-x^2)

Wenn ich die Ableitung an einer beliebigen Stelle a berechnen soll, weiß ich, dass in die Differenzenquotient-Gleichung

f(a-h)-f(a)
-------------
h

anwenden.

Aber ich bekomme da nicht das richtige Ergebnis heraus.

Das richtige Ergebnis weiß ich schon....

Bitte helft mir
Surprised
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 19:06:12    Titel:

Wie wärs mit der Kettenregel?


Wenn ihr die noch nicht hattet, dann kannst du die Ableitung auch geometrisch berechnen. sqrt(5² - x²) ist ein Halbkreis, wie allgemein bekannt steht die Tangente an einen Halbkreis senkrecht auf den Radius. Daraus kannst du nun geometrisch die Ableitung bilden.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 19:15:10    Titel:

Wer aber den Differenzen-Quotienten anwenden muss, der wird bei der Auswertung des Limes auf l'Hospital zurückgreifen müssen, und der erfordert die Ableitung der Wurzel(n) (im Zähler) nach h, aber genau eine Ableitung dieser Art ist ja gesucht. Da wir aber den Differenzen-Quotienten anwenden, lässt darauf schliessen, dass wir ordentlich ableiten noch garnicht können, daher befinden wir uns im folgenden Dilemma, zu dessen Auflösung mir derzeit wieder nichts anderes als eine Anwendung des
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz#Binomische_Reihe.2C_Lehrsatz_f.C3.BCr_komplexe_Exponenten
einfällt.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 27 Feb 2008 - 19:25:00, insgesamt 3-mal bearbeitet
Jo´s
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Anmeldungsdatum: 13.10.2006
Beiträge: 182

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 19:15:22    Titel:

hmm,
ich soll das aber mit dem Differenzenquotient machen....
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 19:18:36    Titel:

Dann versuch ich Dir mal zu helfen mit dem Beispiel

f(x) = Wurzel(x)

lim (f(a+h)-f(a))/h =
h->0

lim [Wurzel(a+h) - Wurzel(a)]/h =
h->0

Wir erweitern mit

Wurzel(a+h) + Wurzel(a)

Daraus ergibt sich im Zähler die 3. Bin Formel, ja?

____[Wurzel(a+h) - Wurzel(a)]*[Wurzel(a+h) + Wurzel(a)]
lim ----------------------------------------------------------------------------=
h->0____h*Wurzel(a+h) + Wurzel(a)

Bin Formel auflösen.

_______________(a+h-a)
lim ------------------------------------------- =
h->0__h* Wurzel(a+h) + Wurzel(a)

a-a= 0 anschließend h kürzen

lim (1 / Wurzel(a+h) + Wurzel(a)) =
h->0

Jetzt h-> gehen lassen:

= (1/ (2Wurzel(a) ) )
Jo´s
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Anmeldungsdatum: 13.10.2006
Beiträge: 182

BeitragVerfasst am: 27 Feb 2008 - 19:27:26    Titel:

das weiß ich in der Theorie^^
nur ist mein Problem bei diesem konkreten Beispiel

wie komme ich den von (nach dem 3. Binom)

(25-(a+h)²)-(25-a²)

zu a+h-a???

Ich verstehe das einfach nicht Crying or Very sad Crying or Very sad Crying or Very sad Crying or Very sad
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 11:43:50    Titel:

Dein Zähler kann nicht mit dem aus Deniz' Beispiel verglichen werden.

Du kommst nach -2·a·h-h² im Zähler, wobei dann das h und das h im Nenner weggegürzt werden können. Das war das Ziel: die von Deniz vorgeschlagene Erweiterung mit der Summe beider Wurzeln hat es ermöglicht, dieses Twisted Evil-h aus dem Nenner zu werfen. Jetzt kann der Grenzübergang h→0 leicht durchgeführt werden: alle das h noch enthaltenden Terme verschwinden und im Nenner steht dann noch die zweifache Wurzel

→ alles OK.
Jo´s
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Anmeldungsdatum: 13.10.2006
Beiträge: 182

BeitragVerfasst am: 29 Feb 2008 - 10:05:14    Titel:

Wenn ich das kürzen will, muss ich doch ausklammern, oder?

h(-2a-h)

Wenn ich das h dann wegkürze bleibt doch immer noch

-2a-h stehen...

Dann setze ich h-->o und erhalte

-2a,

wo liegt jetzt mein Fehler?? Denn eigentlich müsste doch im Zähler 1 stehen...
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 29 Feb 2008 - 10:42:13    Titel:

nein, das passt
Jo´s
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Anmeldungsdatum: 13.10.2006
Beiträge: 182

BeitragVerfasst am: 29 Feb 2008 - 13:33:57    Titel:

Wie? Das passt?

Dann verstehe ich das nicht.
Ich meine wie man von -2a auf 1 kommt....

oder meinst du, dass -2a richtig sei??
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