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Topologie
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Anmeldungsdatum: 15.07.2007
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 17:46:08    Titel: Topologie

Hallo,

also ich habe ein problem mit einer Äquivalenz:
f ist eine Funktion zwischen den metrischen Räumen (X,d), (Y,d):

f ist stetig <=> das Urbild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen

Wenn ich jetzt f: (0,2)->R, x -->1
betrachte ist ja {1} abgeschlossen aber wie soll (0,2) abgeschlossen sein?
sieht für mich ziemlich offen aus...

Hoffe jemand kann mir das erklären.

Danke
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:14:19    Titel:

(0,2) ist offensichtlich abgeschlossen, per Definition eines topologischen Raum.

Der Beweis ist trivial und geht über f^-1(X\Y) = f^-1(X) \ f^-1(Y).

sD.
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Anmeldungsdatum: 15.07.2007
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:37:54    Titel:

wie offensichtlich abgeschlossen?? eine menge is abgeschlossen falls ihr komplement offen ist...
also in diesem fall wäre das komplement (-infinity,0],[2,infinity) oder wie??
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:40:36    Titel:

Die Begriffe "offen" und "abgeschlossen" schließen einander keineswegs aus! Ist die Topologie die diskrete Topologie, dann ist jede Menge offen, da jeder Punkt der Menge offen ist und da beliebige Vereinigungen offener Mengen wiederum offen sind; andererseits ist auch jede Menge abgeschlossen, da ihr Komplement nach obiger Folgerung offen ist!
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:41:56    Titel:

Dein topologischer Raum ist (0,2), das Urbild ist (0,2), p.D. also abgeschlossen.

sD.
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