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Extremwertaufgabe
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Wanderfalke
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Anmeldungsdatum: 01.08.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:09:09    Titel: Extremwertaufgabe

hey,
ich habe folgende Aufgabe:
Ein Behälter aus Blech, dessen Fassungsvermögen 600l beträgt, soll die Form eines Zylinders mit unten angesetzter Halbkugel haben.
In welche Verhältnis stehen Radius und Höhe, wenn ein Minimum an Blech verbraucht werden soll?

Soweit ich weiß, muss man da eine Haupt-und Nebenbedingung aufstellen.

Als Hauptbedingung habe ich die Fläche des Körpers gewählt:
A(Zylinder) + A(Kugel / 2) = 2 PI r * h + (PI * d^2)/2

Als Nebenbedingung habe ich das Volumen gewählt.
V(Zylinder) + V(Kugel/2) = 600
600 = PI * r^2 * h + 2/3 PI * r^3

Jetzt müsste ich die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen, aber ich glaub allein die Umformung nach r ist nicht möglich.
Was mach ich da falsch?

Vielen Dank für eure Antworten!
barachiel
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 699
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:12:06    Titel:

Kennst du dieses Verfahren schon:

(grad f) = λ (grad g)

mit f Hauptfkt und g Nebenfkt?
Wanderfalke
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Anmeldungsdatum: 01.08.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:15:58    Titel:

sagt mir so im augenblick nichts
wie sieht denn dieses Verfahren aus?

*edit: meinst du denn, dass meine Bedingungen richtig sind?
barachiel
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Anmeldungsdatum: 02.12.2005
Beiträge: 699
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:22:57    Titel:

Seien f,g: R^n -> R stetig dfb Fkt

Nun sollen die Extrema der Funktion f bestimmt werden, unter der Bedinung, dass g(x)=0 (mit x ∈ R^n).

Sei a Extremstelle von f mit g(a)=0.
⇒ ∃λ∈R: (grad f)(a) = λ (grad g)(a)


Berechne also die Gradienten von f und g, stelle die n Gleichungen
(grad f)(x) = λ (grad g)(x)
auf und Löse nach x auf (und zeige, dass ein solches λ existiert).
Wanderfalke
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Anmeldungsdatum: 01.08.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:38:44    Titel:

so wie ich das verstehe setzt du die Extremstelle von f in g ein - allerdings hab ich keine Ahnung, wie ich Gradienten berechne... Prinzipiell weiß ich nicht mal genau, was das ist Sad

Gibt es denn keinen anderen Weg?
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 18:42:22    Titel:

Wie wärs denn, wenn du die Nebenbedingung nach h auflöst? Wink
Wanderfalke
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Anmeldungsdatum: 01.08.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 19:16:48    Titel:

hmmm - find ich prinzipiell gute idee. Ich habs mal gemacht.

da krieg ich dann sowas raus:
A = (1200-4/3*pi*r^3)/r+2*pi*r^2

die 1. Ableitung = 0 zu setzen wird dann sehr lustig - die Ableitung wird dann ja enorm groß.
Meint ihr, dass das richtig sein kann?
Wanderfalke
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Anmeldungsdatum: 01.08.2006
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 19:31:18    Titel:

ah - ich seh grad, dass das doch nicht so riesig wird^^

Vielen Dank!

Hoffentlcih stimmt mein Ergebnis Wink
Porcina
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Anmeldungsdatum: 29.12.2007
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 28 Feb 2008 - 19:33:28    Titel:

Wenn du deinen mühsam zusammengefassten Bruch ein bisschen auseinanderziehst kannst du die Summenregel anwenden, dann wird die Ableitung gar nicht mehr so groß:

(1200/r)-(2/3*pi*r^2)+(2/3+Pir^3)

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen

mfg
Porcina
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