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analysis-polynomfunktionen
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numa
Gast






BeitragVerfasst am: 16 März 2005 - 20:35:14    Titel: analysis-polynomfunktionen

Ich habe folgende Frage:
Für welche Werte von c hat die polynomfunktion f(x)=x^5-cx^3+x
fünf reele Nullstellen?

Wär echt super wenn mir das jemand erläutern könnte.
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 16 März 2005 - 20:53:31    Titel:

x=0 ist ja immer lösung. wenn du durch x teilst, dann bleibt ja
x^4-cx²+1
du setzt nun y = x². dann schreibt sich das
y²-cy+1
dann siehst du dass dein anfangspolynom 5 reelle nullstellen hat dann und nur dann wenn die quadratische gleichung y²-cy+1=0 zwei verschiedene reelle positive nullstellen hat
Scherzkrümel
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Anmeldungsdatum: 07.01.2005
Beiträge: 115
Wohnort: Sankt Augustin

BeitragVerfasst am: 16 März 2005 - 20:58:22    Titel:

Hi!
Meiner Meinung nach geht das so:

Erstmal die Gleichung null setzen und ein x ausklammern:

x(x^4-cx²+1)=0

Die erste Lösung ist also x=0 (das ist auf jeden Fall eine Nullstelle)
Dann kannst du das ganze über die pq-Formel ausrechnen ( am besten Substituierst (?) du: z=x²)
Dann bekommst du:

z=c/2+/-Wurzel (c²/4-1)

Damit du dabei 2 Lösungen bekommst, muss der Radikant größer null sein. Das hat die Folge, dass wenn du resubstituierst, du dann insgesamt vier Lösungen hast + x=0 macht fünf reelle Nullstellen.

Also:
c²/4 > 0
c > 2

Noch mal in kurz: Für c>2 gibt es fünf reale Nullstellen!

Hoffe, dass dir das hilft!
LG Steffi
numa
Gast






BeitragVerfasst am: 16 März 2005 - 22:28:06    Titel:

@steffi könntest du das mit der subtitution noch genauer erklären?
Scherzkrümel
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Anmeldungsdatum: 07.01.2005
Beiträge: 115
Wohnort: Sankt Augustin

BeitragVerfasst am: 16 März 2005 - 22:48:04    Titel:

joa, mhh, du setzt einfach für x²=z
Dann steht da ja z²-cz+1=0
Dann die pq-Formel:
z=c/2+/-Wurzel( c²/4-1)
Und dann wieder resubstituieren: z=x²
Also: x²=c/2+/-Wurzel(c²/4-1)

Hoffe, das war jetzt verständlich!
LG Steffi
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 16 März 2005 - 22:51:58    Titel:

Scherzkrümel hat folgendes geschrieben:

Damit du dabei 2 Lösungen bekommmuss der Radikant größer null seinst, . Das hat die Folge, dass wenn du resubstituierst, du dann insgesamt vier Lösungen hast + x=0 macht fünf reelle Nullstellen.

Also:
c²/4 > 0
c > 2

Diese Schlussfolgerung ist leider ganz richtig.
Selbst wenn du für z aus der quadratischen Gleichung 2 reelle Lösungen bekommst, folgt daraus nicht, dass es für x dann 4 reelle Lösungen gibt.
z kann durchaus negative Werte bekommen, dann hat aber x keine reelle Lösung.

Der Radikand c²/4 ist auch für c<-2 größer 0, ergibt aber für z einen negativen Wert und somit für x keine Lösung im Reellen.

Gruß
Andromeda
Scherzkrümel
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Anmeldungsdatum: 07.01.2005
Beiträge: 115
Wohnort: Sankt Augustin

BeitragVerfasst am: 16 März 2005 - 23:05:19    Titel:

Stimmt sorry!
Darüber hatte ich net mehr nachgedacht... *rot werd*
Aber
Andromeda hat folgendes geschrieben:

Diese Schlussfolgerung ist leider ganz richtig.

, ne?

LG Steffi
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 16 März 2005 - 23:09:59    Titel:

Oh shit.

Gruß Andromeda
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