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e-funktionen (Analysis)
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kiosk(gast)
Gast






BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 19:40:02    Titel: e-funktionen (Analysis)

Hi zusammen ich bin neu hier und peile irgendwie genau 0 Very Happy
ich habe hier soeine aufgabe und die ist zu hardcore für mich :

Gegeben ist eine Funktion f durch
f(x)=(x+1)*e^-x
a)untersuche sie k auf schnittpunkte mit den koordinatenachsen sowie auf extrem und wedepunkte
zeichnen sie k für -1<x<2

b) die kurve C ist das schaubild der funktion h mit
h(x)=-x*e^-x
zeichnen sie C für -1<x<2 in das vorhanden achsenkreuz ein
berechnen sie die koordianten des schnittpunktes der beiden kurven k und c .prüfen sie durch rechnung, ob sich die beiden kurven rechtwinklich schneiden


c)zeigen die : die funktion F mit F(x)=(-x-2)*e^-x ist eine stammfunktion von f,und f ist eine stammfunktion von h aus teilaufgabe b , die kureven k und c aus teilaufgabe b sowie die geraden x=0 und x=t mit t>0 umschießen eine fläche
berechen sie deren inhalt A(t)
untersuchen sie ob A(t) größer als 3 werden kann




thx für alle antworten .. ich peil mathe einfach nit D:
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 19:57:46    Titel:

Hier mal Teil a)





Gruß
Andromeda
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 19:58:48    Titel:

Zu a)

Schnittpunkte mit der x-Achse berechnet man, indem man die Funktion gleich Null setzt:

f(x) = 0 --> (x+1)*e^-x = 0
Jetzt kann einem nichts schöneres passieren, als das eine e-Funktion vorliegt, da diese niemals Null werden kann.
Damit kann nur der Vorfaktor x+1 = 0 sein, und das ist für x = -1 der Fall.

Schnittpunkte mit der y-Achse berechnet man, indem man x = 0 einsetzt.
f(0) = (0+1)*e^-0 --> f(0) = 1, da e^0 = 1

Extremwerte und Wendestellen:
Dazu benötigen wir die erste und zweite Ableitung:
f'(x) = e^(-x) - (x+1)*e^(-x) = -x*e^(-x)
f''(x) = -2*e^(-x) + (x+1)*e^(-x) = (x-1) * e^(-x)

f'(x) = 0 --> -x*e^(-x) = 0 --> x = 0
f''(0) = -1 --> Maximum --> f(0) = 1
f''(x) = 0 --> (x-1) * e^(-x) = 0 --> x = 1
f(1) = 2/e

Zeichnen:
kiosk(gast)
Gast






BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 20:13:07    Titel:

cool ich versuche das nachzurechnen Smile
habe bei a) fast das gleiche raus ..vielleicht kann ich es doch hoey,aber
bei b hab ich ja schon den schnittpunkt aber der rest ist mir nicht so dimmer und c) ist ist "fatal error" - da versagt auch mein mathe buch ..

big thx an alle Very Happy
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 20:15:35    Titel:

Zu b)

Zeichnen:


Wenn sich zwei Funktionen schneiden, dann muss man sie gleichsetzen:
(x+1)*e^-x = -x*e^-x |:e^(-x)
x+1 = -x |+x |-1
2x = -1 |:2
x = -1/2

f(-1/2) = (1/2)*e^(1/2)

S ( (-1/2) / (1/2)*e^(1/2))

Steigung von k:
f'(-1/2) = 1/2*e^(1/2)

Steigung von c:
h'(x) = e^(-x)*(x-1)
f'(-1/2) = -3/2*e^(1/2)

Damit sind die Steigungen nicht rechtwinklig.
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 20:36:36    Titel:

Zu c)

Prüfen: f ist eine Stammfunktion von h

f(x)=(x+1)*e^(-x)

1. Ableitung:
f'(x) = -x*e^(-x) <=> h(x) = -x*e^(-x)

Damit ist f eine Stammfunktion von h.

Zeigen sie :
Die Funktion F mit F(x)= (-x-2)*e^-x ist eine stammfunktion von f.

f(x) = (x+1)*e^(-x) --> F(x) = INTEGRAL[(x+1)*e^(-x)] =
INTEGRAL[x*e^(-x)] + INTEGRAL[e^(-x)] =
INTEGRAL[x*e^(-x)] - e^(-x) + C =
-e^(-x)*x - e^(-x) - e^(-x) + C = (x+2) * -e^(-x) + C oder (-x-2) * e^(-x) + C
kiosk(gast)
Gast






BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 20:42:27    Titel:

habe mal ne frage warum ist das nicht rechtwinklig bei b)
weil ? wie hab ich mir das vorzustellen ?

big thx für c)
kiosk(gast)
Gast






BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 21:04:50    Titel:

und wie ist das mit dem A(t) diesem fächeninhalt ?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 21:09:30    Titel:

Die Steigungen sind dann senkrecht, wenn man beide multipliziert und -1 rauskommt.

Beispiel:
m1 = 1 (1.Winkelhalbierende)
m2 = -1 (2.Winkelhalbierende)

Diese beiden stehen mit Sicherheit senkrecht aufeinander !!!

m1 * m2 = 1 * -1 = -1

ODER:

m1 = 2
m2 = -1/2

m1 * m2 = 2 * -1/2 = -1

Stehen also auch senkrecht !!!

m1 = 1/2*e^(1/2)
m2 = -3/2*e^(1/2)

m1 * m2 = 1/2*e^(1/2) * -3/2*e^(1/2) = -3/4*e^(1/2)

Damit nicht senkrecht !!!
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 21:27:27    Titel:

F(x)= (-x-2)*e^-x ist eine Stammfunktion von f
UND
H(x)=(x+1)*e^(-x) ist eine Stammfunktion von h

Damit kann man die beiden Flächen berechnen und zusammen addieren.

(-x-2)*e^-x in den Grenzen 0..t:
(-t-2)*e^(-t) + 2

(x+1)*e^(-x) in den Grenzen 0..t:
(t+1)*e^(-t) - 1

Die Gesamtfläche:
A(t) = (-t-2)*e^(-t) + 2 * (t+1)*e^(-t) - 1 = t*e^(-t) - 1
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