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loesung von DGL x'' = - (D/m) * x(t)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> loesung von DGL x'' = - (D/m) * x(t)
 
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helge
Gast






BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 22:06:55    Titel: loesung von DGL x'' = - (D/m) * x(t)

Hallo,

ich bin gerade dabei mich etwas in Mechanik (Schwingungen) einzulesen und bin auf eine DGL gestossen, deren Loesung ich ueberhaupt nicht nachvollziehen kann.

Die Gleichung lautet:

x'' = - (D/m) * x(t)

Die Loesung soll sein:

x(t) = A cos (wt) + B sin (wt) mit w = wurzel (D/m)

Wuerde mich sehr freuen, wenn Ihr mir weiterhelfen koenntet, weil ich in keinem Buch den Loesungsweg finden konnte.

Vielen Dank

Gruss Helge
Gast







BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 22:29:24    Titel:

Wikipedia: "Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir eine Funktion x(t) finden, deren zweite Ableitung genau negativ proportional zur Funktion selbst ist. Genau das erfüllen die Funktionen sin(x) und cos(x)"

http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Schwingung
R@W
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Beiträge: 540
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BeitragVerfasst am: 17 März 2005 - 23:45:39    Titel:

man macht erstmal nen ansatz von f(t) = a*(e^kt)
wobei a und k beliebeige konstanten sind, das setzt man dann in die DGL ein.
x'' = - (D/m) * x(t)
ak²(e^kt) = - (D/m)*a*(e^kt)
die e funktion und a kürzen sich raus
k² = - D/m
somit wird klar das k eine imaginäre größe ist.
k wird also bestimmt zu
+i(D/m)^1/2
-i(D/m)^1/2
da wir a immer noch nicht bestimmt haben und für plus und minus unterschiedliche a rauskommen können ist die lösung eine linearkombinatione von 2 e-funktionen
f(t) = A*[e^{+i(D/m)^1/2*t}] + B*[e^{-i(d/m)^1/2*t}]
sowohl A als auch B bekommst du für anfangsbedingungen raus die du festlegst; wir legen fest z.b fest
f(0)=x(max)
f'(0)=0
(oder andersrum musst mal schaun)
und du kommst über die eulerschen umformungen auf f(t)= Acos(wt) +Bsin(wt)
(ich glaub bei den anfagsbedingungen fällt sogar A oder B raus)
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