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satz des fermats
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johannes89
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Anmeldungsdatum: 20.03.2005
Beiträge: 15
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 22 März 2005 - 00:42:00    Titel: satz des fermats

kann mir hier viellecit jemand erklaeren, was der satz des fermats besagt,
und vielleicht ein beispiel nennen wo der satz des fermats angewendet
wird.
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 22 März 2005 - 12:49:31    Titel:

Satz des Fermat:

a^n + b^n = c^n

für n>2 und a, b aus N => c nicht aus N

Also es gibt keine ganzzahlige Lösung c , so dass gilt: c^n = a^n+b^n
wenn a und b Integer sind.

Praktische Anwendung: Ist mir nicht bekannt,
gibt es auch bestimmt nicht .p

kleiner Satz des Fermat:
n Primzahl <=> a^(n-1) = 1 mod n , für alle a aus Z_{n}\{0}

Anwendung: Wenn n Primzahl ist ja n-1 = Phi(n)
das braucht man z.B. beim encrypten/decrypten mit RSA (Zahlentheorie)

cu...
johannes89
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Anmeldungsdatum: 20.03.2005
Beiträge: 15
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 22 März 2005 - 14:14:28    Titel:

Faulus hat folgendes geschrieben:

kleiner Satz des Fermat:
n Primzahl <=> a^(n-1) = 1 mod n , für alle a aus Z_{n}\{0}

Anwendung: Wenn n Primzahl ist ja n-1 = Phi(n)
das braucht man z.B. beim encrypten/decrypten mit RSA (Zahlentheorie)

cu...


kannst du mir dies noch mal erklären, da ich es nicht verstehe, insbeson-
dere
Code:
n Primzahl <=> a^(n-1) = 1 mod n , für alle a aus Z_{n}\{0}

Johannes
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 22 März 2005 - 15:26:03    Titel:

joooa sagen wir mal du nimmst Gruppe Z_{7}\{0}
(Ich meine die Gruppe Z, im Index 7)

Dann kommen alle Elemente < 7 und > 0 in die Gruppe, die Teilerfremd
zu 7 sind. Hier ist 7 eine Primzahl, und deswegen kommen alle
Zahlen zwischen 1 und 6 in die Gruppe (da sie mit 7 Teilerfremd sind,
also ggT(Element, 7) = 1 )

Die Anzahl der Elemente, welche eine solche Gruppe besitzt, kann mit der
Eulerschen Phi-Funktion bestimmt werden.
Die Gruppe hat also Phi(7) = 6 Elemente.

z.B. Phi(24)
ersma 24 in Primfaktoren zerlegen => 2^3*3

=> Phi(24) = (2^3-2^2)*(3^1-3^0) = 4*2=8


soo da jetz aber alle Elemente zwischen 1 und einer Primzahl teilerfremd zur Primzahl ist, gilt bei Primzahlen insbesondere, Phi(p) = p-1

Soo nu hast also die Gruppe Z_{7}\{0} = {1;2;3;4;5;6}

wenn du nun irgendein Element nimmst, sagen wir mal die 2
und rechnest
2^1 mod 7 = 2
2^2 mod 7 = 4
2^3 mod 7 = 1
2^4 mod 7 = 2
2^5 mod 7 = 4
2^6 mod 7 = 1

Sieht man das a^(n-1) mod n halt 1 ist.
Das liegt halt daran, dass wenn du dir ein Element nimmst hoch 1,2,..,n rechnest und mod n nimmst, entstehen zyklische Untergruppen, die auch nur Elemente unserer Hauptgruppe Z_{7}\{0} besitzen.
Entweder alle Elemente der Hauptgruppe, dann reden wir davon , dass a ein Generator ist, oder nur ein teil der elemente.

Wichtig:
Jedenfalls ist die Anzahl der Elemente einer zykischen Untergruppe immer ein Teiler von Phi(n) = n-1

Deswegen: a^(Phi(n)) = a^(n-1) = 1 mod n

Naja, die erklären ist bestimmt scheisse, aber bin nicht so der
grosse Redner .p
Hoffe hat nen bissl geholfen, cu .p
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