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Lipschitzkonstante ausrechnen
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Mayflower
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Anmeldungsdatum: 22.03.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 23 März 2005 - 17:20:06    Titel: Lipschitzkonstante ausrechnen

Hallo zusammen,

ich bin auf der Suche nach einem System, wie man die Lipschitzkonstate L ausrechnet???

Lipschitzstetig ist

|f(x)-f(y)|<=L|x-y|

oder geht das nur mit abschätzen???

LG.
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 23 März 2005 - 17:32:58    Titel:

ich bin kein mathematiker (korrigiere mich also bitte einer wenns nciht ganz einwandfrei ist), aber soweit ich weiss geht das nicht so einfach mit dem exakten ausrechnen... nehmen wir ne mal ne lipschitzstetige funktion f mit Lipschitz konstante L. dann gilt ja für jedes x,y
|f(x)-f(y)|<=L|x-y|
wenn jetzt aber K>= L, dann gilt dann ja auch noch
|f(x)-f(y)|<=L|x-y|<= K|x-y|
damit wäre dann
L = inf {K||f(x)-f(y)|<=K|x-y|, für alle x,y}

soweit ich mich erinnere ist eine möglichkeit (alle stetigkeits und diffenzierbarkeitsbedingungen mal vorausgesetzt) den satz von lagrange anzuwenden, denn dann wäre
|f(x)-f(y)|<=|f'(z)||x-y|
mit z zwischen x und y

aber korrigier mich einer... analysis ist shcon lange her ... Smile
Mayflower
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Anmeldungsdatum: 22.03.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 23 März 2005 - 18:02:25    Titel:

Danke schön, für die Antwort!!!
Für die Lipschitzkonstante ist - so glaube ich zu wissen -

0<L<1 schon vorgegeben, wodurch sich die Auswahl ja noch etwas beschränkt, also wenn das K<1 wäre, dann stimmt das auch, aber wie komme ich dann darauf, ob jetzt K oder L die gesuchte Konstante ist????

PS: Das mit dem |f(z)'| ist bestimmt der Schlüssel des Problems????!!!
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 23 März 2005 - 18:12:53    Titel:

nee, auch das ist nicht der schlüssel... da gibt es dann nämlich 2 probleme:
1) wer sagt dir denn dass dein |f'(z)| auch wirklich das kleinste ist! es kann ja immer noch ein L geben welches
|f(x)-f(y)|<=L|x-y|
erfüllt, aber welches noch kleiner ist als dein |f'(z)|

2) der satz von lagrange (ich glaub im deutschsprachigen raum heisst der mittelwertsatz...? sorry, bin die deutschen fachausdrücke nciht gewohnt)
sagt nur aus dass es, unter gewissen stetigkeits und diffenzenzierbarkeitsbedingungen ein z zwischen x und y gibt sodass
|f(x)-f(y)|<=|f'(z)||x-y|
der satz sagt aber nicht welches z das ist! daher kann man so auch noch nichts damit anfangen. und dieses z hängt von der wahl von x und y ab, deine lipschitzkonstante darf das ja gerade nicht!

aber in den anwendungen geht man so vor. nehmen wir ne "schöne" funktion f (also alle bedingungen die ich brauche sind erfüllt), deren ableitung desweiteren beschränkt ist, d.h es gibt ein M>0 sodass für jedes z
|f'(z)|<M
dann folgt aus dem satz von lagrange
|f(x)-f(y)|<=|f'(z)||x-y|<M|x-y|
dieses M kann man also als Lipschitzkonstante wählen (wenn man von der bedingung L<1 mal absieht), da es ja nicht mehr von x und y abhängt.
aber dennoch bleibt auch hier noch dass du nicht weisst ob es auch das kleinste M ist welches die Lipschitzbedingung erfüllt
Mayflower
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Anmeldungsdatum: 22.03.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 23 März 2005 - 18:41:56    Titel:

Muss die Konstante denn eine ganz bestimmte sein???
Die wäre ja dann immer anders!!!
Je nachdem was ich grade rechne...
Mayflower
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Anmeldungsdatum: 22.03.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 23 März 2005 - 18:42:58    Titel:

Hatte letztes mal z.B

L=1/2

aber das musste man damals abschätzen!!!
Vielleicht geht es gar nicht anders, als mit einer Abschätzung????
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 23 März 2005 - 19:23:45    Titel:

hm... ja ich glaub shcon dass man sie im allgemeinen abschätzen muss... eine allgemeine formel kenn ich nämlich nicht.
und das abschätzen geht dann über die oben genannte methode normalerweise
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 23 März 2005 - 19:52:14    Titel:

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Lipschitzkonstante zu berechnen.

Bei stetig differenzierbaren Funktionen hilft der Mittelwertsatz.



Gruß
Andromeda
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