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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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 Verfasst am: 26 März 2008 - 20:09:32 Titel: Asymptoten bestimmen |
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Hallo!
Ich hoffe hier kann mir wer helfen...
Also wie gesagt ich muss Asymptoten eine Funktion bestimen:
f(x)= (2x²-1)/(3x²+1)
Also da die Definitionsmenge R ist, gibt es ja schon mal keine senkrechten Asymptoten...
Allerdings komme ich bei den waagerechten Asymptoten nicht weiter  Die müsste ich ja mit dem Grenzwert bestimmen und den wiederum mit dem Differenzenquotient. Ich hab auch alles schon brav eingesetzt und am Ende kommt bei mir 10/(9x³+6x) raus... allerdings liegt die Asymptote bei y=2/3... Wie komm ich darauf? hab ich mich verrechnet oder geht es nach meinem Endergebnis noch weiter? |
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Tiamat
Senior Member
Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 20:18:11 Titel: |
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| Hier greift eine ganz einfache Regel: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, ist der Quotient der höchsten Koeffizienten gleich der waagerechten Asymptote, also 2/3. |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 20:48:14 Titel: |
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super dankeschön!!!
die nächste Aufgabe lautet aber:
f(x)=(2x²+3)/(4x³)
gibt es da auch eine einfache Regel oder muss ich da den komplizierteren weg mit dem Differenzielquotienten nehmen? |
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Tiamat
Senior Member
Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 20:59:24 Titel: |
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Bei gebrochen rationalen Funktionen gilt:
Zählergrad > Nennergrad: keine waagerechte Asymptote
Zählergrad = Nennergrad: Asymptote = Quotient der höchsten Koeffizienten
Zählergrad < Nennergrad: waagerechte Asymptote ist die x-Achse (sowohl für x --> +oo als auch für x --> -oo) |
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Calculus
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 21:10:24 Titel: |
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| Tiamat hat folgendes geschrieben: |
| Zählergrad > Nennergrad: keine waagerechte Asymptote |
Aber man kann Polynomdivision durchfuehren und u.u. eine Asymptote finden, die nicht waagerecht ist.
Beispiel:
f(x) = (x^2 + 1)/x = x + 1/x -> Asymptote ist a(x) = x
Jedoch muss es diese nicht geben, Beispiel:
f(x) = (x + 3)^3 / (x + 2)^2 = x + 3 |
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drohdeifl
Inaktiver Account
Anmeldungsdatum: 27.11.2006
Beiträge: 2226
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 21:19:28 Titel: |
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| Minimuff hat folgendes geschrieben: |
super dankeschön!!!
die nächste Aufgabe lautet aber:
f(x)=(2x²+3)/(4x³)
gibt es da auch eine einfache Regel oder muss ich da den komplizierteren weg mit dem Differenzielquotienten nehmen? |
Hier erkennst du mit einem etwas geschärften Blick, dass der Zähler für x-->unendlich langsamer anwächst, als der Nenner (Vergleiche die Exponenten). Dies könnte man jetzt mit L'Hospital zeigen (lim x-->unendlich (4/24x), ist aber eigentlich unnötig. Denn es gibt ja die o.g. "Bauernregeln". |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 21:40:39 Titel: |
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ich habe dann noch eine Frage:
ich soll für die Funktion f(x)=(x-1)²*wurzel(x) die Punkte, wo das Schaubild waagerechte Tangenten hat herausfinden...
die Ableitung habe ich f'(x)=2,5x*wurzel(x)-3*wurzel(x)+1/(2*wurzelx))
da die steigung der tangente 0 sein muss, müsste ich die Ableitung dann mit 0 gleichsetzen oder? Aber wie löse ich das auf? |
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Hirmick
Full Member
Anmeldungsdatum: 28.12.2007
Beiträge: 473
Wohnort: Göttingen
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 21:49:39 Titel: |
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Nullsetzen ist richtig, aber die Ableitung ist zuweit umgeformt oder falsch, habs nicht nachgerechnet, zumindest nicht bis zu deiner Form. Die nicht vereinfachte Ableitung sieht bei mir so aus
| Code: |
| 2(x-1)sqrt(x)+(x-1)²/(2sqrt(x)) |
Jetzt klammert man (x-1) aus und bekommt
| Code: |
| (x-1)*[ 2sqrt(x) + (x-1)/(2sqrt(x))] |
Jetzt kann man es problemlos 0 setzen, ein Produkt ist 0 wenn einer seiner Faktoren 0 wird ...
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Abi 007 - BRGS
LK1: Mathe
LK2: Physik |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 22:03:59 Titel: |
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Danke!!! Ja hab ich nur zu weit umgeformt.... aber richtig^^ wir haben die Punkte nämlich schon genannt bekommen und die passen zu meiner Ableitung  |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 22:30:44 Titel: |
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so eine letzte Frage für heute hab ich noch^^
f(x)=4-x² und ich soll die Gleichung für die Normale durch den Ursprung aufstellen... steh da grad aufm schlauch... die ableitung hab ich schon... aber jetzt weiß ich nicht weiter... |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 23:10:35 Titel: |
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Ja eigentlich hatte ich das auch vor aber vllt ich hab die Ableitung falsch gebildet(f'(x)=-2x), denn da kommt ja 0 raus, wenn man x=0 einsetzt und wie bilde ich da den neg. Kehrwert?
Huch war hier nicht eben noch ne Antwort???? *verwirrt* darauf bezieht sich dieser post nämlich^^ |
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Hirmick
Full Member
Anmeldungsdatum: 28.12.2007
Beiträge: 473
Wohnort: Göttingen
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 23:22:00 Titel: |
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man kann posts löschen, ist hier wohl passiert ... naja egal, ka was dir jetzt bereits gesagt wurde aber anscheinend war es net richtig, sonst wärs noch da Also nochmal. Eine Tangente berührt den Grafen in einem Punkt, eine Normale geht senkrecht hindurch, bzw. steht senkrecht auf der Tangente, ggeht aber durch denselben Punkt. Um eine Geradengleichung aufzustellen, brauchst du einen Punkt und eine Steigung.
Über die Ableitung bekommst du die Steigung der Tangente. Gesucht ist die Steigung der Normale. Normale und Tangente sind orthogonal.
Für zwei orthogonale geraden gibt es einen Satz: Wenn zwei Geraden orthogonal sind und die (möglichst nicht-singulären) Steigungen m1 bzw. m2 haben, so gilt: m1*m2=-1
Für die jeweils andere Steigung gilt also m2=-1/m1. Damit kannst du die Steigung der Normalen ausrechnen. Das setzt du in y=mx+b für m ein und bestimmst danach b so, dass die Normale durch den Punkt geht.
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 23:38:11 Titel: |
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| die steigung der normalen wäre dann 1/2x ? Was mach aber mit dem x? denn ich berechne die Normalengleichung ja nicht am Punkt(0|0) sondern, die Normale geht dadurch.... |
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Hirmick
Full Member
Anmeldungsdatum: 28.12.2007
Beiträge: 473
Wohnort: Göttingen
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 23:47:26 Titel: |
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die Ableitung liefert dir nicht DIE Steigung, sondern alle Steigungen. Du musst entscheiden, welche dich interessiert ... Du hast einen Punkt, und dessen Stelle setzt du ein. Ich seh gerade, dass die Steigung hier 0 ist, d.h. mit der Geradengleichung y=mx+b wirst du nicht weit kommen.
Die Normale ist die y-Achse.
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LK2: Physik |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 26 März 2008 - 23:56:37 Titel: |
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ok, danke zu der Lösung wär ich auch gekommen, aber laut unserer Lehrerin lauten die Punkte p1(-1,87|0,5) p2(1,87|0,5) und die Normalengleichungen n:y=-0,267x bzw. n:y=0,267x
Wie kommt sie darauf? |
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mathefan
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8738
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| Verfasst am: 27 März 2008 - 00:15:28 Titel: |
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hi Hirmick
| Zitat: |
Die Normale ist die y-Achse. |
mach dir mal ne Skizze, dann siehst du, dass es noch zwei weitere Kurvenpunkte geben wird,
die die Bedingung erfüllen:
A( √ (7/2) | 1/2 ) und B( - √ (7/2) | 1/2 )
die beiden Normalen haben dann die Gleichungen
y=( 1 / √ (14) )*x
bzw.
y=( -1 / √ (14) )*x
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 27 März 2008 - 00:19:47 Titel: |
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| Und wie kommt man da rechnerisch drauf? |
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mathefan
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8738
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| Verfasst am: 27 März 2008 - 00:27:42 Titel: |
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hi Minimuff
| Zitat: |
| Und wie kommt man da rechnerisch drauf? |
hast du denn selbst keine Idee?
Tipp:
Eine Gerade durch den Punkt (a | 4-a^2 ) mit der Steigung m=1/(2a) soll durch den Nullpunkt gehen..
.. für welche Werte von a tut sie dies?
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 27 März 2008 - 19:27:54 Titel: |
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achja, jetzt weiß ich  danke^^ |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 29 März 2008 - 15:50:25 Titel: |
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hallo,
ich hab nochmal eine frage:
solche Aufgaben, nach dem Schema der letzten gehen aber nur wenn man einen Punkt auf der y-Achse gegeben hat, damit man das b (y=mx+b) schon weiß, oder? |
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Hirmick
Full Member
Anmeldungsdatum: 28.12.2007
Beiträge: 473
Wohnort: Göttingen
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| Verfasst am: 29 März 2008 - 17:57:42 Titel: |
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@mathefan: Ja, hast recht ... hab die Aufgabe falsch verstanden, dachte, es wäre die Normale an der Stelle x=0 gesucht
@Minimuff: Nein, das vereinfacht die Aufgabe nur unwesentlich. b kann man immer aus der Steigung berechnen, wenn man einen Punkt hat: Du setzt für x und y die Koordinaten des Punktes ein, und formst nach b um. Dann hast du eine Gleichung, um b aus m zu berechnen.
Setzt du dies für b in die Gleichung y=mx+b ein, hast du eine Geradenschar, die nurnoch von m abhängt. Und dann kannst du mit der bedingung m*f'(x)=-1 kommen
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LK2: Physik |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 31 März 2008 - 19:37:44 Titel: |
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hmm.... mal angenommen der punkt wäre A(3|5) kann ich 3=1/2x*5+b schreiben, aber für das x hab ich ja noch keinen wert den muss ich doch erst errechnen und 3 kann ich doch nicht nehmen weil A doch nicht auf dem Graphen liegt.... denn x0, für das die steigung errechnet wird ist ja nicht das x von A.....
oder hab ich grad wieder ein brett vorm kopf^^? |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 31 März 2008 - 21:21:23 Titel: |
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| kann mir bitte jemand sagen wie man die Aufgabe dann doch lösen kann oder ob es doch nicht geht wenn man keinen Punkt auf der y-Achse hat? |
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Hirmick
Full Member
Anmeldungsdatum: 28.12.2007
Beiträge: 473
Wohnort: Göttingen
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| Verfasst am: 31 März 2008 - 22:15:59 Titel: |
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Habs doch ausführlich beschrieben:
| Hirmick hat folgendes geschrieben: |
| b kann man immer aus der Steigung berechnen, wenn man einen Punkt hat: Du setzt für x und y die Koordinaten des Punktes ein, und formst nach b um. Dann hast du eine Gleichung, um b aus m zu berechnen. |
Der Punkt ist (3|5), also x=3 und y=5 ... das in y=mx+b einsetzen:
| Hirmick hat folgendes geschrieben: |
| Setzt du dies für b in die Gleichung y=mx+b ein, hast du eine Geradenschar, die nurnoch von m abhängt. |
...
| Code: |
| y=mx+5-3m=m*(x-3)+5 |
| Hirmick hat folgendes geschrieben: |
| Und dann kannst du mit der bedingung m*f'(x)=-1 kommen |
f'(x)=2x, also
Für y setzt du noch x²-4 ein und hast zwei Gleichungen für 2 Unbekannte:
| Code: |
x²-4=m*(x-3)+5
m=-1(2x) |
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Minimuff
Newbie
Anmeldungsdatum: 26.03.2008
Beiträge: 15
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| Verfasst am: 09 Apr 2008 - 18:11:05 Titel: |
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Hallo,
heute hab ich mal keine Frage^^ Ich wollt nur noch mal danke sagen, denn dank der Hilfe hier hab ich ein schöne Arbeit geschrieben |
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